代数例

$\frac{4}{3 x - 1} > \frac{- 5}{x}$

ステップ 1

不等式の両辺から $\frac{- 5}{x}$ を引きます。

$\frac{4}{3 x - 1} - \frac{- 5}{x} > 0$

ステップ 2

$\frac{4}{3 x - 1} - \frac{- 5}{x}$ を簡約します。

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ステップ 2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{4}{3 x - 1} - - \frac{5}{x} > 0$

ステップ 2.1.2

$- - \frac{5}{x}$ を掛けます。

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ステップ 2.1.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{4}{3 x - 1} + 1 \frac{5}{x} > 0$

ステップ 2.1.2.2

$\frac{5}{x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{4}{3 x - 1} + \frac{5}{x} > 0$

ステップ 2.2

$\frac{4}{3 x - 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$\frac{4}{3 x - 1} \cdot \frac{x}{x} + \frac{5}{x} > 0$

ステップ 2.3

$\frac{5}{x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3 x - 1}{3 x - 1}$ を掛けます。

$\frac{4}{3 x - 1} \cdot \frac{x}{x} + \frac{5}{x} \cdot \frac{3 x - 1}{3 x - 1} > 0$

ステップ 2.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(3 x - 1) x$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 2.4.1

$\frac{4}{3 x - 1}$ に $\frac{x}{x}$ をかけます。

$\frac{4 x}{(3 x - 1) x} + \frac{5}{x} \cdot \frac{3 x - 1}{3 x - 1} > 0$

ステップ 2.4.2

$\frac{5}{x}$ に $\frac{3 x - 1}{3 x - 1}$ をかけます。

$\frac{4 x}{(3 x - 1) x} + \frac{5 (3 x - 1)}{x (3 x - 1)} > 0$

ステップ 2.4.3

$(3 x - 1) x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{4 x}{x (3 x - 1)} + \frac{5 (3 x - 1)}{x (3 x - 1)} > 0$

ステップ 2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4 x + 5 (3 x - 1)}{x (3 x - 1)} > 0$

ステップ 2.6

分子を簡約します。

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ステップ 2.6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{4 x + 5 (3 x) + 5 \cdot - 1}{x (3 x - 1)} > 0$

ステップ 2.6.2

$3$ に $5$ をかけます。

$\frac{4 x + 15 x + 5 \cdot - 1}{x (3 x - 1)} > 0$

ステップ 2.6.3

$5$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{4 x + 15 x - 5}{x (3 x - 1)} > 0$

ステップ 2.6.4

$4 x$ と $15 x$ をたし算します。

$\frac{19 x - 5}{x (3 x - 1)} > 0$

ステップ 3

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x = 0$

$19 x - 5 = 0$

$3 x - 1 = 0$

ステップ 4

方程式の両辺に $5$ を足します。

$19 x = 5$

ステップ 5

$19 x = 5$ の各項を $19$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.1

$19 x = 5$ の各項を $19$ で割ります。

$\frac{19 x}{19} = \frac{5}{19}$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$19$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{19 x}{19} = \frac{5}{19}$

ステップ 5.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{5}{19}$

ステップ 6

方程式の両辺に $1$ を足します。

$3 x = 1$

ステップ 7

$3 x = 1$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.1

$3 x = 1$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

ステップ 7.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{3}$

ステップ 8

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = 0$

$x = \frac{5}{19}$

$x = \frac{1}{3}$

ステップ 9

解をまとめます。

$x = 0, \frac{5}{19}, \frac{1}{3}$

ステップ 10

$\frac{19 x - 5}{x (3 x - 1)}$ の定義域を求めます。

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ステップ 10.1

$\frac{19 x - 5}{x (3 x - 1)}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x (3 x - 1) = 0$

ステップ 10.2

$x$ について解きます。

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ステップ 10.2.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$3 x - 1 = 0$

ステップ 10.2.2

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 10.2.3

$3 x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 10.2.3.1

$3 x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$3 x - 1 = 0$

ステップ 10.2.3.2

$x$ について $3 x - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 10.2.3.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$3 x = 1$

ステップ 10.2.3.2.2

$3 x = 1$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 10.2.3.2.2.1

$3 x = 1$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

ステップ 10.2.3.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 10.2.3.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

ステップ 10.2.3.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{3}$

ステップ 10.2.4

最終解は $x (3 x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, \frac{1}{3}$

ステップ 10.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}, \infty)$

ステップ 11

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 0$

$0 < x < \frac{5}{19}$

$\frac{5}{19} < x < \frac{1}{3}$

$x > \frac{1}{3}$

ステップ 12

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 12.1

区間 $x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 12.1.1

区間 $x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 12.1.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

$\frac{4}{3 (- 2) - 1} > \frac{- 5}{- 2}$

ステップ 12.1.3

左辺 $- 0.\overline{571428}$ は右辺 $2.5$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 12.2

区間 $0 < x < \frac{5}{19}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 12.2.1

区間 $0 < x < \frac{5}{19}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0.13$

ステップ 12.2.2

$x$ を元の不等式の $0.13$ で置き換えます。

$\frac{4}{3 (0.13) - 1} > \frac{- 5}{0.13}$

ステップ 12.2.3

左辺 $- 6.55737704$ は右辺 $- 38.\overline{461538}$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 12.3

区間 $\frac{5}{19} < x < \frac{1}{3}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 12.3.1

区間 $\frac{5}{19} < x < \frac{1}{3}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0.3$

ステップ 12.3.2

$x$ を元の不等式の $0.3$ で置き換えます。

$\frac{4}{3 (0.3) - 1} > \frac{- 5}{0.3}$

ステップ 12.3.3

左辺 $- 40$ は右辺 $- 16.\overline{6}$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 12.4

区間 $x > \frac{1}{3}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 12.4.1

区間 $x > \frac{1}{3}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 3$

ステップ 12.4.2

$x$ を元の不等式の $3$ で置き換えます。

$\frac{4}{3 (3) - 1} > \frac{- 5}{3}$

ステップ 12.4.3

左辺 $0.5$ は右辺 $- 1.\overline{6}$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 12.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 0$ 偽

$0 < x < \frac{5}{19}$ 真

$\frac{5}{19} < x < \frac{1}{3}$ 偽

$x > \frac{1}{3}$ 真

$x < 0$ 偽

$0 < x < \frac{5}{19}$ 真

$\frac{5}{19} < x < \frac{1}{3}$ 偽

$x > \frac{1}{3}$ 真

ステップ 13

解はすべての真の区間からなります。

$0 < x < \frac{5}{19}$ または $x > \frac{1}{3}$

ステップ 14

不等式を区間記号に変換します。

$(0, \frac{5}{19}) \cup (\frac{1}{3}, \infty)$

ステップ 15

代数 例

代数例