代数例

$\log_{2} (2 x^{3} - 8) - 2 \log_{2} (x) = \log_{2} (x)$

ステップ 1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\log_{2} (2 x^{3} - 8) - 2 \log_{2} (x) - \log_{2} (x) = 0$

ステップ 2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\log_{2} (\frac{2 x^{3} - 8}{x}) - 2 \log_{2} (x) = 0$

ステップ 3

$2$ を $2 x^{3} - 8$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$2$ を $2 x^{3}$ で因数分解します。

$\log_{2} (\frac{2 (x^{3}) - 8}{x}) - 2 \log_{2} (x) = 0$

ステップ 3.2

$2$ を $- 8$ で因数分解します。

$\log_{2} (\frac{2 x^{3} + 2 \cdot - 4}{x}) - 2 \log_{2} (x) = 0$

ステップ 3.3

$2$ を $2 x^{3} + 2 \cdot - 4$ で因数分解します。

$\log_{2} (\frac{2 (x^{3} - 4)}{x}) - 2 \log_{2} (x) = 0$

ステップ 4

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\log_{2} (\frac{2 (x^{3} - 4)}{x}) - 2 \log_{2} (x)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $- 2 \log_{2} (x)$ を簡約します。

$\log_{2} (\frac{2 (x^{3} - 4)}{x}) - \log_{2} (x^{2}) = 0$

ステップ 4.1.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\log_{2} (\frac{\frac{2 (x^{3} - 4)}{x}}{x^{2}}) = 0$

ステップ 4.1.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$\log_{2} (\frac{2 (x^{3} - 4)}{x} \cdot \frac{1}{x^{2}}) = 0$

ステップ 4.1.4

まとめる。

$\log_{2} (\frac{2 (x^{3} - 4) \cdot 1}{x \cdot x^{2}}) = 0$

ステップ 4.1.5

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.1

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\log_{2} (\frac{2 (x^{3} - 4) \cdot 1}{x^{1} x^{2}}) = 0$

ステップ 4.1.5.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\log_{2} (\frac{2 (x^{3} - 4) \cdot 1}{x^{1 + 2}}) = 0$

ステップ 4.1.5.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\log_{2} (\frac{2 (x^{3} - 4) \cdot 1}{x^{3}}) = 0$

ステップ 4.1.6

$2 (x^{3} - 4)$ に $1$ をかけます。

$\log_{2} (\frac{2 (x^{3} - 4)}{x^{3}}) = 0$

ステップ 5

対数の定義を利用して $\log_{2} (\frac{2 (x^{3} - 4)}{x^{3}}) = 0$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で、 $b$ $\neq$ $1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$2^{0} = \frac{2 (x^{3} - 4)}{x^{3}}$

ステップ 6

分数を削除するためにたすき掛けします。

$2 (x^{3} - 4) = 2^{0} (x^{3})$

ステップ 7

$2^{0} (x^{3})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$2 (x^{3} - 4) = 1 x^{3}$

ステップ 7.2

$x^{3}$ に $1$ をかけます。

$2 (x^{3} - 4) = x^{3}$

ステップ 8

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

方程式の両辺から $x^{3}$ を引きます。

$2 (x^{3} - 4) - x^{3} = 0$

ステップ 8.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

分配則を当てはめます。

$2 x^{3} + 2 \cdot - 4 - x^{3} = 0$

ステップ 8.2.2

$2$ に $- 4$ をかけます。

$2 x^{3} - 8 - x^{3} = 0$

ステップ 8.3

$2 x^{3}$ から $x^{3}$ を引きます。

$x^{3} - 8 = 0$

ステップ 9

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$x^{3} - 2^{3} = 0$

ステップ 9.2

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

ステップ 9.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2}) = 0$

ステップ 9.3.2

$2$ を $2$ 乗します。

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

ステップ 10

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ を展開します。

$x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4 = 0$

ステップ 10.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1.1

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1.1.1

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1.1.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{1} x^{2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4 = 0$

ステップ 10.2.1.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{1 + 2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4 = 0$

ステップ 10.2.1.1.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$x^{3} + x (2 x) + x \cdot 4 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4 = 0$

ステップ 10.2.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$x^{3} + 2 x \cdot x + x \cdot 4 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4 = 0$

ステップ 10.2.1.3

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1.3.1

$x$ を移動させます。

$x^{3} + 2 (x \cdot x) + x \cdot 4 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4 = 0$

ステップ 10.2.1.3.2

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{3} + 2 x^{2} + x \cdot 4 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4 = 0$

ステップ 10.2.1.4

$4$ を $x$ の左に移動させます。

$x^{3} + 2 x^{2} + 4 \cdot x - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4 = 0$

ステップ 10.2.1.5

$2$ に $- 2$ をかけます。

$x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 2 x^{2} - 4 x - 2 \cdot 4 = 0$

ステップ 10.2.1.6

$- 2$ に $4$ をかけます。

$x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 2 x^{2} - 4 x - 8 = 0$

ステップ 10.2.2

$x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 2 x^{2} - 4 x - 8$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1

$2 x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$x^{3} + 4 x + 0 - 4 x - 8 = 0$

ステップ 10.2.2.2

$x^{3} + 4 x$ と $0$ をたし算します。

$x^{3} + 4 x - 4 x - 8 = 0$

ステップ 10.2.2.3

$4 x$ から $4 x$ を引きます。

$x^{3} + 0 - 8 = 0$

ステップ 10.2.2.4

$x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$x^{3} - 8 = 0$

ステップ 11

方程式の両辺に $8$ を足します。

$x^{3} = 8$

ステップ 12

方程式の両辺から $8$ を引きます。

$x^{3} - 8 = 0$

ステップ 13

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 13.1

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$x^{3} - 2^{3} = 0$

ステップ 13.2

$(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

ステップ 13.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.3.1

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2}) = 0$

ステップ 13.3.2

$2$ を $2$ 乗します。

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

ステップ 14

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

ステップ 15

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 15.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 16

$x^{2} + 2 x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

$x^{2} + 2 x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

ステップ 16.2

$x$ について $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ を解きます。

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ステップ 16.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 16.2.2

$a = 1$ 、 $b = 2$ 、および $c = 4$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 16.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 16.2.3.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 16.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 4$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 16.2.3.1.2.2

$- 4$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 16.2.3.1.3

$4$ から $16$ を引きます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 16.2.3.1.4

$- 12$ を $- 1 (12)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 16.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (12)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 16.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 16.2.3.1.7

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.3.1.7.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 16.2.3.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 16.2.3.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 16.2.3.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 16.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 16.2.3.3

$\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

ステップ 16.2.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

ステップ 17

最終解は $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

代数 例

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