代数例

$y = \frac{e^{6 x}}{\ln (4 x)}$

ステップ 1

$f (x) = e^{6 x}$ および $g (x) = \ln (4 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{\ln (4 x) \frac{d}{d x} [e^{6 x}] - e^{6 x} \frac{d}{d x} [\ln (4 x)]}{\ln^{2} (4 x)}$

ステップ 2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 6 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $6 x$ とします。

$\frac{\ln (4 x) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [6 x]) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [\ln (4 x)]}{\ln^{2} (4 x)}$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{\ln (4 x) (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [6 x]) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [\ln (4 x)]}{\ln^{2} (4 x)}$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $6 x$ で置き換えます。

$\frac{\ln (4 x) (e^{6 x} \frac{d}{d x} [6 x]) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [\ln (4 x)]}{\ln^{2} (4 x)}$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\ln (4 x) (e^{6 x} (6 \frac{d}{d x} [x])) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [\ln (4 x)]}{\ln^{2} (4 x)}$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\ln (4 x) (e^{6 x} (6 \cdot 1)) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [\ln (4 x)]}{\ln^{2} (4 x)}$

ステップ 3.3

式を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$6$ に $1$ をかけます。

$\frac{\ln (4 x) (e^{6 x} \cdot 6) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [\ln (4 x)]}{\ln^{2} (4 x)}$

ステップ 3.3.2

$6$ を $e^{6 x}$ の左に移動させます。

$\frac{\ln (4 x) (6 \cdot e^{6 x}) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [\ln (4 x)]}{\ln^{2} (4 x)}$

ステップ 4

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $4 x$ とします。

$\frac{\ln (4 x) (6 e^{6 x}) - e^{6 x} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x])}{\ln^{2} (4 x)}$

ステップ 4.2

$u_{2}$ に関する $\ln (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{2}}$ です。

$\frac{\ln (4 x) (6 e^{6 x}) - e^{6 x} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x])}{\ln^{2} (4 x)}$

ステップ 4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$\frac{\ln (4 x) (6 e^{6 x}) - e^{6 x} (\frac{1}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])}{\ln^{2} (4 x)}$

ステップ 5

微分します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{4 x}$ と $e^{6 x}$ をまとめます。

$\frac{\ln (4 x) (6 e^{6 x}) - \frac{e^{6 x}}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]}{\ln^{2} (4 x)}$

ステップ 5.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\ln (4 x) (6 e^{6 x}) - \frac{e^{6 x}}{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])}{\ln^{2} (4 x)}$

ステップ 5.3

項を簡約します。

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ステップ 5.3.1

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\ln (4 x) (6 e^{6 x}) - 4 \frac{e^{6 x}}{4 x} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (4 x)}$

ステップ 5.3.2

$- 4$ と $\frac{e^{6 x}}{4 x}$ をまとめます。

$\frac{\ln (4 x) (6 e^{6 x}) + \frac{- 4 e^{6 x}}{4 x} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (4 x)}$

ステップ 5.3.3

$- 4$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.1

$4$ を $- 4 e^{6 x}$ で因数分解します。

$\frac{\ln (4 x) (6 e^{6 x}) + \frac{4 (- e^{6 x})}{4 x} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (4 x)}$

ステップ 5.3.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.2.1

$4$ を $4 x$ で因数分解します。

$\frac{\ln (4 x) (6 e^{6 x}) + \frac{4 (- e^{6 x})}{4 (x)} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (4 x)}$

ステップ 5.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (4 x) (6 e^{6 x}) + \frac{4 (- e^{6 x})}{4 x} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (4 x)}$

ステップ 5.3.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\ln (4 x) (6 e^{6 x}) + \frac{- e^{6 x}}{x} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (4 x)}$

ステップ 5.3.4

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{\ln (4 x) (6 e^{6 x}) - \frac{e^{6 x}}{x} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (4 x)}$

ステップ 5.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\ln (4 x) (6 e^{6 x}) - \frac{e^{6 x}}{x} \cdot 1}{\ln^{2} (4 x)}$

ステップ 5.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\ln (4 x) (6 e^{6 x}) - \frac{e^{6 x}}{x}}{\ln^{2} (4 x)}$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{6 \ln (4 x) e^{6 x} - \frac{e^{6 x}}{x}}{\ln^{2} (4 x)}$

ステップ 6.1.2

対数の中の $6$ を移動させて $6 \ln (4 x)$ を簡約します。

$\frac{\ln ({(4 x)}^{6}) e^{6 x} - \frac{e^{6 x}}{x}}{\ln^{2} (4 x)}$

ステップ 6.1.3

積の法則を $4 x$ に当てはめます。

$\frac{\ln (4^{6} x^{6}) e^{6 x} - \frac{e^{6 x}}{x}}{\ln^{2} (4 x)}$

ステップ 6.1.4

$4$ を $6$ 乗します。

$\frac{\ln (4096 x^{6}) e^{6 x} - \frac{e^{6 x}}{x}}{\ln^{2} (4 x)}$

ステップ 6.2

$\ln (4096 x^{6}) e^{6 x} - \frac{e^{6 x}}{x}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{e^{6 x} \ln (4096 x^{6}) - \frac{e^{6 x}}{x}}{\ln^{2} (4 x)}$

代数 例

代数例