代数例

$y = \frac{\sin (2 x)}{1 + \cos (2 x)}$

ステップ 1

$f (x) = \sin (2 x)$ および $g (x) = 1 + \cos (2 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(1 + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

ステップ 2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $2 x$ とします。

$\frac{(1 + \cos (2 x)) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

ステップ 2.2

$u_{1}$ に関する $\sin (u_{1})$ の微分係数は $\cos (u_{1})$ です。

$\frac{(1 + \cos (2 x)) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{(1 + \cos (2 x)) (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) (2 \cdot 1) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

ステップ 3.3

式を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{(1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) \cdot 2 - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

ステップ 3.3.2

$2$ を $(1 + \cos (2 x)) \cos (2 x)$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot ((1 + \cos (2 x)) \cos (2 x)) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

ステップ 3.4

総和則では、 $1 + \cos (2 x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ です。

$\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) - \sin (2 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

ステップ 3.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) - \sin (2 x) (0 + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

ステップ 3.6

$0$ と $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ をたし算します。

$\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

ステップ 4

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $2 x$ とします。

$\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) - \sin (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

ステップ 4.2

$u_{2}$ に関する $\cos (u_{2})$ の微分係数は $- \sin (u_{2})$ です。

$\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) - \sin (2 x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

ステップ 4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) - \sin (2 x) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

ステップ 5

掛け算します。

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ステップ 5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) + 1 \sin (2 x) (\sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

ステップ 5.2

$\sin (2 x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) + \sin (2 x) (\sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

ステップ 6

$\sin (2 x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) + \sin^{1} (2 x) \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

ステップ 7

$\sin (2 x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) + \sin^{1} (2 x) \sin^{1} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

ステップ 8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) + {\sin (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [2 x]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

ステップ 9

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) + \sin^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

ステップ 10

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) + \sin^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

ステップ 11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) + \sin^{2} (2 x) (2 \cdot 1)}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

ステップ 12

式を簡約します。

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ステップ 12.1

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) + \sin^{2} (2 x) \cdot 2}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

ステップ 12.2

$2$ を $\sin^{2} (2 x)$ の左に移動させます。

$\frac{2 (1 + \cos (2 x)) \cos (2 x) + 2 \cdot \sin^{2} (2 x)}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 \cdot 1 + 2 \cos (2 x)) \cos (2 x) + 2 \sin^{2} (2 x)}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

ステップ 13.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 \cdot 1 \cos (2 x) + 2 \cos (2 x) \cos (2 x) + 2 \sin^{2} (2 x)}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

ステップ 13.3

分子を簡約します。

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ステップ 13.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 13.3.1.1

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cos (2 x) \cos (2 x) + 2 \sin^{2} (2 x)}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

ステップ 13.3.1.2

$2 \cos (2 x) \cos (2 x)$ を掛けます。

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ステップ 13.3.1.2.1

$\cos (2 x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 (\cos^{1} (2 x) \cos (2 x)) + 2 \sin^{2} (2 x)}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

ステップ 13.3.1.2.2

$\cos (2 x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 (\cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x)) + 2 \sin^{2} (2 x)}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

ステップ 13.3.1.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 {\cos (2 x)}^{1 + 1} + 2 \sin^{2} (2 x)}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

ステップ 13.3.1.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (2 x) + 2 \sin^{2} (2 x)}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

ステップ 13.3.2

$2$ を $2 \cos^{2} (2 x)$ で因数分解します。

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 (\cos^{2} (2 x)) + 2 \sin^{2} (2 x)}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

ステップ 13.3.3

$2$ を $2 \sin^{2} (2 x)$ で因数分解します。

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 (\cos^{2} (2 x)) + 2 (\sin^{2} (2 x))}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

ステップ 13.3.4

$2$ を $2 (\cos^{2} (2 x)) + 2 (\sin^{2} (2 x))$ で因数分解します。

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 (\cos^{2} (2 x) + \sin^{2} (2 x))}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

ステップ 13.3.5

項を並べ替えます。

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 (\sin^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x))}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

ステップ 13.3.6

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cdot 1}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

ステップ 13.3.7

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 \cos (2 x) + 2}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

ステップ 13.4

項を並べ替えます。

$\frac{2 + 2 \cos (2 x)}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

ステップ 13.5

$2$ を $2 + 2 \cos (2 x)$ で因数分解します。

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ステップ 13.5.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 1 + 2 \cos (2 x)}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

ステップ 13.5.2

$2$ を $2 \cdot 1 + 2 \cos (2 x)$ で因数分解します。

$\frac{2 (1 + \cos (2 x))}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

ステップ 13.6

$1 + \cos (2 x)$ と ${(1 + \cos (2 x))}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.6.1

$1 + \cos (2 x)$ を $2 (1 + \cos (2 x))$ で因数分解します。

$\frac{(1 + \cos (2 x)) \cdot 2}{{(1 + \cos (2 x))}^{2}}$

ステップ 13.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 13.6.2.1

$1 + \cos (2 x)$ を ${(1 + \cos (2 x))}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{(1 + \cos (2 x)) \cdot 2}{(1 + \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x))}$

ステップ 13.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{(1 + \cos (2 x)) \cdot 2}{(1 + \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x))}$

ステップ 13.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{1 + \cos (2 x)}$

代数 例

代数例