代数例

$4 \tan^{-1} (e^{u} + \sin (v))$

ステップ 1

$4$ は $v$ に対して定数なので、 $v$ に対する $4 \tan^{-1} (e^{u} + \sin (v))$ の微分係数は $4 \frac{d}{d v} [\tan^{-1} (e^{u} + \sin (v))]$ です。

$4 \frac{d}{d v} [\tan^{-1} (e^{u} + \sin (v))]$

ステップ 2

$f (v) = \tan^{-1} (v)$ および $g (v) = e^{u} + \sin (v)$ のとき、 $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ は $f' (g (v)) g' (v)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $e^{u} + \sin (v)$ とします。

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [\tan^{-1} (u_{1})] \frac{d}{d v} [e^{u} + \sin (v)])$

ステップ 2.2

$u_{1}$ に関する $\tan^{-1} (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ です。

$4 (\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d v} [e^{u} + \sin (v)])$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $e^{u} + \sin (v)$ で置き換えます。

$4 (\frac{1}{1 + {(e^{u} + \sin (v))}^{2}} \frac{d}{d v} [e^{u} + \sin (v)])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{1 + {(e^{u} + \sin (v))}^{2}}$ と $4$ をまとめます。

$\frac{4}{1 + {(e^{u} + \sin (v))}^{2}} \frac{d}{d v} [e^{u} + \sin (v)]$

ステップ 3.2

総和則では、 $e^{u} + \sin (v)$ の $v$ に関する積分は $\frac{d}{d v} [e^{u}] + \frac{d}{d v} [\sin (v)]$ です。

$\frac{4}{1 + {(e^{u} + \sin (v))}^{2}} (\frac{d}{d v} [e^{u}] + \frac{d}{d v} [\sin (v)])$

ステップ 3.3

$e^{u}$ は $v$ について定数なので、 $v$ について $e^{u}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{4}{1 + {(e^{u} + \sin (v))}^{2}} (0 + \frac{d}{d v} [\sin (v)])$

ステップ 3.4

$0$ と $\frac{d}{d v} [\sin (v)]$ をたし算します。

$\frac{4}{1 + {(e^{u} + \sin (v))}^{2}} \frac{d}{d v} [\sin (v)]$

ステップ 4

$v$ に関する $\sin (v)$ の微分係数は $\cos (v)$ です。

$\frac{4}{1 + {(e^{u} + \sin (v))}^{2}} \cos (v)$

ステップ 5

分数をまとめます。

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ステップ 5.1

$\frac{4}{1 + {(e^{u} + \sin (v))}^{2}}$ と $\cos (v)$ をまとめます。

$\frac{4 \cos (v)}{1 + {(e^{u} + \sin (v))}^{2}}$

ステップ 5.2

項を並べ替えます。

$\frac{4 \cos (v)}{{(e^{u} + \sin (v))}^{2} + 1}$

代数 例