代数例

$\cos (x y) + \sin (y z) + w z$

ステップ 1

総和則では、 $\cos (x y) + \sin (y z) + w z$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [\cos (x y)] + \frac{d}{d y} [\sin (y z)] + \frac{d}{d y} [w z]$ です。

$\frac{d}{d y} [\cos (x y)] + \frac{d}{d y} [\sin (y z)] + \frac{d}{d y} [w z]$

ステップ 2

$\frac{d}{d y} [\cos (x y)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$f (y) = \cos (y)$ および $g (y) = x y$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x y$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [\sin (y z)] + \frac{d}{d y} [w z]$

ステップ 2.1.2

$u_{1}$ に関する $\cos (u_{1})$ の微分係数は $- \sin (u_{1})$ です。

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [\sin (y z)] + \frac{d}{d y} [w z]$

ステップ 2.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x y$ で置き換えます。

$- \sin (x y) \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [\sin (y z)] + \frac{d}{d y} [w z]$

ステップ 2.2

$x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $x y$ の微分係数は $x \frac{d}{d y} [y]$ です。

$- \sin (x y) (x \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [\sin (y z)] + \frac{d}{d y} [w z]$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \sin (x y) (x \cdot 1) + \frac{d}{d y} [\sin (y z)] + \frac{d}{d y} [w z]$

ステップ 2.4

$x$ に $1$ をかけます。

$- \sin (x y) x + \frac{d}{d y} [\sin (y z)] + \frac{d}{d y} [w z]$

ステップ 3

$\frac{d}{d y} [\sin (y z)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$f (y) = \sin (y)$ および $g (y) = y z$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $y z$ とします。

$- \sin (x y) x + \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d y} [y z] + \frac{d}{d y} [w z]$

ステップ 3.1.2

$u_{2}$ に関する $\sin (u_{2})$ の微分係数は $\cos (u_{2})$ です。

$- \sin (x y) x + \cos (u_{2}) \frac{d}{d y} [y z] + \frac{d}{d y} [w z]$

ステップ 3.1.3

$u_{2}$ のすべての発生を $y z$ で置き換えます。

$- \sin (x y) x + \cos (y z) \frac{d}{d y} [y z] + \frac{d}{d y} [w z]$

ステップ 3.2

$z$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $y z$ の微分係数は $z \frac{d}{d y} [y]$ です。

$- \sin (x y) x + \cos (y z) (z \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [w z]$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \sin (x y) x + \cos (y z) (z \cdot 1) + \frac{d}{d y} [w z]$

ステップ 3.4

$z$ に $1$ をかけます。

$- \sin (x y) x + \cos (y z) z + \frac{d}{d y} [w z]$

ステップ 4

$w z$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $w z$ の微分係数は $0$ です。

$- \sin (x y) x + \cos (y z) z + 0$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$- \sin (x y) x + \cos (y z) z$ と $0$ をたし算します。

$- \sin (x y) x + \cos (y z) z$

ステップ 5.2

項を並べ替えます。

$- x \sin (x y) + z \cos (y z)$

代数 例

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