代数例

$- (y - 4) = x + 9$ , $x - \frac{8}{3} y = 0$

ステップ 1

各平面の方程式を標準形式で求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分配則を当てはめます。

$- y - - 4 = x + 9, x - \frac{8}{3} y = 0$

ステップ 1.1.2

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$- y + 4 = x + 9, x - \frac{8}{3} y = 0$

ステップ 1.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$- y = x + 9 - 4, x - \frac{8}{3} y = 0$

ステップ 1.3

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$- y - x = 9 - 4, x - \frac{8}{3} y = 0$

ステップ 1.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$y$ と $\frac{8}{3}$ をまとめます。

$- y - x = 9 - 4, x - \frac{y \cdot 8}{3} = 0$

ステップ 1.4.2

$8$ を $y$ の左に移動させます。

$- y - x = 9 - 4, x - \frac{8 y}{3} = 0$

ステップ 1.5

$9$ から $4$ を引きます。

$- y - x = 5, x - \frac{8 y}{3} = 0$

ステップ 2

点 $(p, q, r)$ を通り平面 $P_{1}$ $a x + b y + c z = d$ に垂直な線と平面 $P_{2}$ $e x + f y + g z = h$ の交点を求めるために：

1. 法線ベクトルが $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ および $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ である平面 $P_{1}$ および平面 $P_{2}$ の法線ベクトルを求めます。ドット積が0か確認します。

2. $x = p + a t$ 、 $y = q + b t$ 、 $z = r + c t$ などの媒介変数方程式の集合を作成します。

3. これらの方程式を $e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ であるような平面 $P_{2}$ の方程式に代入し、 $t$ を解きます。

4. $t$ の値を利用して $t$ について、媒介変数方程式 $x = p + a t$ 、 $y = q + b t$ 、および $z = r + c t$ を解き、交点 $(x, y, z)$ を求めます。

ステップ 3

各面の法線ベクトルを求め、そのドット積を計算して垂直かどうかを判定します。

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ステップ 3.1

$P_{1}$ は $- y - x = 5$ です。式 $a x + b y + c z = d$ 平面の方程式から法線ベクトル $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ を求めます。

$n_{1} = ⟨ - 1, - 1, 0 ⟩$

ステップ 3.2

$P_{2}$ は $x - \frac{8 y}{3} = 0$ です。式 $e x + f y + g z = h$ 平面の方程式から法線ベクトル $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ を求めます。

$n_{2} = ⟨ 1, - \frac{8}{3}, 0 ⟩$

ステップ 3.3

$n_{1}$ と $n_{2}$ のドット積を、法線ベクトルの対応する $x$ 、 $y$ 、 $z$ の値の積を合計し計算します。

$- 1 \cdot 1 - 1 \cdot (- \frac{8}{3}) + 0 \cdot 0$

ステップ 3.4

ドット積を簡約します。

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ステップ 3.4.1

括弧を削除します。

$- 1 \cdot 1 - 1 \cdot (- \frac{8}{3}) + 0 \cdot 0$

ステップ 3.4.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1 - 1 \cdot (- \frac{8}{3}) + 0 \cdot 0$

ステップ 3.4.2.2

$- 1 (- \frac{8}{3})$ を掛けます。

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ステップ 3.4.2.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- 1 + 1 (\frac{8}{3}) + 0 \cdot 0$

ステップ 3.4.2.2.2

$\frac{8}{3}$ に $1$ をかけます。

$- 1 + \frac{8}{3} + 0 \cdot 0$

ステップ 3.4.2.3

$0$ に $0$ をかけます。

$- 1 + \frac{8}{3} + 0$

ステップ 3.4.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{3} + 0$

ステップ 3.4.4

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{8}{3} + 0$

ステップ 3.4.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 1 \cdot 3 + 8}{3} + 0$

ステップ 3.4.6

分子を簡約します。

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ステップ 3.4.6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 3 + 8}{3} + 0$

ステップ 3.4.6.2

$- 3$ と $8$ をたし算します。

$\frac{5}{3} + 0$

ステップ 3.4.7

$\frac{5}{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{5}{3}$

ステップ 4

次に、点 $(p, q, r)$ に対する原点 $(0, 0, 0)$ と、 $a$ 、 $b$ 、および $c$ の値に対する法線ベクトル $\frac{5}{3}$ の値を利用して媒介変数方程式 $x = p + a t$ 、 $y = q + b t$ 、および $z = r + c t$ の集合を作成します。この媒介変数方程式の集合、 $P_{1}$ $- y - x = 5$ に垂直な原点を通る線を表します。

$x = 0 + - 1 \cdot t$

$y = 0 + - 1 \cdot t$

$z = 0 + 0 \cdot t$

ステップ 5

$x$ 、 $y$ 、および $z$ の値を標準形の方程式 $P_{2}$ $x - \frac{8 y}{3} = 0$ に代入します。

$(0 - 1 \cdot t) - \frac{8 (0 - 1 \cdot t)}{3} = 0$

ステップ 6

$t$ について方程式を解きます。

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ステップ 6.1

$(0 - 1 \cdot t) - \frac{8 (0 - 1 \cdot t)}{3}$ を簡約します。

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ステップ 6.1.1

$(0 - 1 \cdot t) - \frac{8 (0 - 1 \cdot t)}{3}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 6.1.1.1

$0$ から $1 \cdot t$ を引きます。

$- 1 \cdot t - \frac{8 (0 - 1 \cdot t)}{3} = 0$

ステップ 6.1.1.2

$0$ から $1 \cdot t$ を引きます。

$- 1 \cdot t - \frac{8 (- 1 \cdot t)}{3} = 0$

ステップ 6.1.2

各項を簡約します。

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ステップ 6.1.2.1

$- 1 t$ を $- t$ に書き換えます。

$- t - \frac{8 (- 1 \cdot t)}{3} = 0$

ステップ 6.1.2.2

$- 1$ に $8$ をかけます。

$- t - \frac{- 8 t}{3} = 0$

ステップ 6.1.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$- t - - \frac{8 t}{3} = 0$

ステップ 6.1.2.4

$- - \frac{8 t}{3}$ を掛けます。

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ステップ 6.1.2.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- t + 1 \frac{8 t}{3} = 0$

ステップ 6.1.2.4.2

$\frac{8 t}{3}$ に $1$ をかけます。

$- t + \frac{8 t}{3} = 0$

ステップ 6.1.3

$- t$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$- t \cdot \frac{3}{3} + \frac{8 t}{3} = 0$

ステップ 6.1.4

項を簡約します。

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ステップ 6.1.4.1

$- t$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{- t \cdot 3}{3} + \frac{8 t}{3} = 0$

ステップ 6.1.4.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- t \cdot 3 + 8 t}{3} = 0$

ステップ 6.1.5

分子を簡約します。

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ステップ 6.1.5.1

$t$ を $- t \cdot 3 + 8 t$ で因数分解します。

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ステップ 6.1.5.1.1

$t$ を $- t \cdot 3$ で因数分解します。

$\frac{t (- 1 \cdot 3) + 8 t}{3} = 0$

ステップ 6.1.5.1.2

$t$ を $8 t$ で因数分解します。

$\frac{t (- 1 \cdot 3) + t \cdot 8}{3} = 0$

ステップ 6.1.5.1.3

$t$ を $t (- 1 \cdot 3) + t \cdot 8$ で因数分解します。

$\frac{t (- 1 \cdot 3 + 8)}{3} = 0$

ステップ 6.1.5.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{t (- 3 + 8)}{3} = 0$

ステップ 6.1.5.3

$- 3$ と $8$ をたし算します。

$\frac{t \cdot 5}{3} = 0$

ステップ 6.1.6

$5$ を $t$ の左に移動させます。

$\frac{5 t}{3} = 0$

ステップ 6.2

分子を0に等しくします。

$5 t = 0$

ステップ 6.3

$5 t = 0$ の各項を $5$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.3.1

$5 t = 0$ の各項を $5$ で割ります。

$\frac{5 t}{5} = \frac{0}{5}$

ステップ 6.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 t}{5} = \frac{0}{5}$

ステップ 6.3.2.1.2

$t$ を $1$ で割ります。

$t = \frac{0}{5}$

ステップ 6.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.3.1

$0$ を $5$ で割ります。

$t = 0$

ステップ 7

$t$ の値を利用して $x$ 、 $y$ 、および $z$ について媒介変数方程式を解きます。

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ステップ 7.1

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 7.1.1

括弧を削除します。

$x = 0 - 1 \cdot 0$

ステップ 7.1.2

$0$ から $0$ を引きます。

$x = 0$

ステップ 7.2

$y$ について方程式を解きます。

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ステップ 7.2.1

括弧を削除します。

$y = 0 - 1 \cdot 0$

ステップ 7.2.2

$0$ から $0$ を引きます。

$y = 0$

ステップ 7.3

$z$ について方程式を解きます。

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ステップ 7.3.1

括弧を削除します。

$z = 0 + 0 \cdot (0)$

ステップ 7.3.2

$0 + 0 \cdot (0)$ を簡約します。

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ステップ 7.3.2.1

$0$ に $0$ をかけます。

$z = 0 + 0$

ステップ 7.3.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$z = 0$

ステップ 7.4

$x$ 、 $y$ 、および $z$ について解いた媒介変数方程式です。

$x = 0$

$y = 0$

$z = 0$

$x = 0$

$y = 0$

$z = 0$

ステップ 8

$x$ 、 $y$ 、および $z$ を計算した値を利用すると、交点は $(0, 0, 0)$ であることがわかります。

$(0, 0, 0)$

代数 例

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