代数例

$f (x) = x^{4} + 5 x^{2} + 4$

ステップ 1

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$f (x) = {(x^{2})}^{2} + 5 x^{2} + 4$

ステップ 2

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$f (x) = u^{2} + 5 u + 4$

ステップ 3

たすき掛けを利用して $u^{2} + 5 u + 4$ を因数分解します。

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ステップ 3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $4$ で、その和が $5$ です。

$1, 4$

ステップ 3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$f (x) = (u + 1) (u + 4)$

ステップ 4

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$f (x) = (x^{2} + 1) (x^{2} + 4)$

ステップ 5

複素数を因数分解します。

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ステップ 5.1

多項式 $x^{2} + 1$ の定数に $- i^{2}$ をかけます。ここで $i^{2}$ は $- 1$ と等しくなります。

$f (x) = (x^{2} - 1 i^{2}) (x^{2} + 4)$

ステップ 5.2

多項式 $x^{2} + 4$ の定数に $- i^{2}$ をかけます。ここで $i^{2}$ は $- 1$ と等しくなります。

$f (x) = (x^{2} - 1 i^{2}) (x^{2} - 4 i^{2})$

ステップ 5.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - i^{2} = (a + i) (a - i)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $i = i$ です。

$f (x) = (x + i) (x - i) (x^{2} - 4 i^{2})$

ステップ 5.4

$4 i^{2}$ を ${(2 i)}^{2}$ に書き換えます。

$f (x) = (x + i) (x - i) (x^{2} - {(2 i)}^{2})$

ステップ 5.5

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - i^{2} = (a + i) (a - i)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $i = 2 i$ です。

$f (x) = (x + i) (x - i) ((x + 2 i) (x - (2 i)))$

ステップ 5.6

因数分解。

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ステップ 5.6.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f (x) = (x + i) (x - i) ((x + 2 i) (x - 2 i))$

ステップ 5.6.2

不要な括弧を削除します。

$f (x) = (x + i) (x - i) (x + 2 i) (x - 2 i)$

代数 例