代数例

$5 x^{2} + 9 y^{2} + 10 x - 54 y + 41$

ステップ 1

楕円の標準形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

方程式の両辺から $5 x^{2}$ を引きます。

$y - 5 x^{2} = 9 y^{2} + 10 x - 54 y + 41$

ステップ 1.1.2

方程式の両辺から $9 y^{2}$ を引きます。

$y - 5 x^{2} - 9 y^{2} = 10 x - 54 y + 41$

ステップ 1.1.3

方程式の両辺から $10 x$ を引きます。

$y - 5 x^{2} - 9 y^{2} - 10 x = - 54 y + 41$

ステップ 1.1.4

方程式の両辺に $54 y$ を足します。

$y - 5 x^{2} - 9 y^{2} - 10 x + 54 y = 41$

ステップ 1.1.5

$y$ と $54 y$ をたし算します。

$- 5 x^{2} - 9 y^{2} - 10 x + 55 y = 41$

ステップ 1.2

$- 5 x^{2} - 10 x$ の平方完成。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = - 5$

$b = - 10$

$c = 0$

ステップ 1.2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 10}{2 \cdot - 5}$

ステップ 1.2.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1

$- 10$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1.1

$2$ を $- 10$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot - 5}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot - 5$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 (- 5)}$

ステップ 1.2.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot - 5}$

ステップ 1.2.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 5}{- 5}$

ステップ 1.2.3.2.2

$- 5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$d = \frac{- 5}{- 5}$

ステップ 1.2.3.2.2.2

式を書き換えます。

$d = 1$

ステップ 1.2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- 10)}^{2}}{4 \cdot - 5}$

ステップ 1.2.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1.1

$- 10$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{100}{4 \cdot - 5}$

ステップ 1.2.4.2.1.2

$4$ に $- 5$ をかけます。

$e = 0 - \frac{100}{- 20}$

ステップ 1.2.4.2.1.3

$100$ を $- 20$ で割ります。

$e = 0 - - 5$

ステップ 1.2.4.2.1.4

$- 1$ に $- 5$ をかけます。

$e = 0 + 5$

ステップ 1.2.4.2.2

$0$ と $5$ をたし算します。

$e = 5$

ステップ 1.2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $- 5 {(x + 1)}^{2} + 5$ に代入します。

$- 5 {(x + 1)}^{2} + 5$

ステップ 1.3

$- 5 {(x + 1)}^{2} + 5$ を方程式 $- 5 x^{2} - 9 y^{2} - 10 x + 55 y = 41$ の中の $- 5 x^{2} - 10 x$ に代入します。

$- 5 {(x + 1)}^{2} + 5 - 9 y^{2} + 55 y = 41$

ステップ 1.4

両辺に $5$ を加えて、 $5$ を方程式の右辺に移動させます。

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 y^{2} + 55 y = 41 - 5$

ステップ 1.5

$- 9 y^{2} + 55 y$ の平方完成。

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ステップ 1.5.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = - 9$

$b = 55$

$c = 0$

ステップ 1.5.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.5.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{55}{2 \cdot - 9}$

ステップ 1.5.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.5.3.2.1

$2$ に $- 9$ をかけます。

$d = \frac{55}{- 18}$

ステップ 1.5.3.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$d = - \frac{55}{18}$

ステップ 1.5.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{55^{2}}{4 \cdot - 9}$

ステップ 1.5.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.1.1

$55$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{3025}{4 \cdot - 9}$

ステップ 1.5.4.2.1.2

$4$ に $- 9$ をかけます。

$e = 0 - \frac{3025}{- 36}$

ステップ 1.5.4.2.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$e = 0 - - \frac{3025}{36}$

ステップ 1.5.4.2.1.4

$- - \frac{3025}{36}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.1.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e = 0 + 1 (\frac{3025}{36})$

ステップ 1.5.4.2.1.4.2

$\frac{3025}{36}$ に $1$ をかけます。

$e = 0 + \frac{3025}{36}$

ステップ 1.5.4.2.2

$0$ と $\frac{3025}{36}$ をたし算します。

$e = \frac{3025}{36}$

ステップ 1.5.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $- 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} + \frac{3025}{36}$ に代入します。

$- 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} + \frac{3025}{36}$

ステップ 1.6

$- 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} + \frac{3025}{36}$ を方程式 $- 5 x^{2} - 9 y^{2} - 10 x + 55 y = 41$ の中の $- 9 y^{2} + 55 y$ に代入します。

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} + \frac{3025}{36} = 41 - 5$

ステップ 1.7

両辺に $\frac{3025}{36}$ を加えて、 $\frac{3025}{36}$ を方程式の右辺に移動させます。

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = 41 - 5 - \frac{3025}{36}$

ステップ 1.8

$41 - 5 - \frac{3025}{36}$ を簡約します。

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ステップ 1.8.1

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.1.1

$41$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41}{1} - 5 - \frac{3025}{36}$

ステップ 1.8.1.2

$\frac{41}{1}$ に $\frac{36}{36}$ をかけます。

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41}{1} \cdot \frac{36}{36} - 5 - \frac{3025}{36}$

ステップ 1.8.1.3

$\frac{41}{1}$ に $\frac{36}{36}$ をかけます。

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41 \cdot 36}{36} - 5 - \frac{3025}{36}$

ステップ 1.8.1.4

$- 5$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41 \cdot 36}{36} + \frac{- 5}{1} - \frac{3025}{36}$

ステップ 1.8.1.5

$\frac{- 5}{1}$ に $\frac{36}{36}$ をかけます。

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41 \cdot 36}{36} + \frac{- 5}{1} \cdot \frac{36}{36} - \frac{3025}{36}$

ステップ 1.8.1.6

$\frac{- 5}{1}$ に $\frac{36}{36}$ をかけます。

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41 \cdot 36}{36} + \frac{- 5 \cdot 36}{36} - \frac{3025}{36}$

ステップ 1.8.2

公分母の分子をまとめます。

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41 \cdot 36 - 5 \cdot 36 - 3025}{36}$

ステップ 1.8.3

各項を簡約します。

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ステップ 1.8.3.1

$41$ に $36$ をかけます。

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{1476 - 5 \cdot 36 - 3025}{36}$

ステップ 1.8.3.2

$- 5$ に $36$ をかけます。

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{1476 - 180 - 3025}{36}$

ステップ 1.8.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.4.1

$1476$ から $180$ を引きます。

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{1296 - 3025}{36}$

ステップ 1.8.4.2

$1296$ から $3025$ を引きます。

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{- 1729}{36}$

ステップ 1.8.4.3

分数の前に負数を移動させます。

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = - \frac{1729}{36}$

ステップ 1.9

方程式の各項の符号を反転させ、右辺の項が正となるようにする。

$5 {(x + 1)}^{2} + 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{1729}{36}$

ステップ 1.10

各項を $\frac{1729}{36}$ で割り、右辺を1と等しくします。

$\frac{5 {(x + 1)}^{2}}{\frac{1729}{36}} + \frac{9 {(y - \frac{55}{18})}^{2}}{\frac{1729}{36}} = \frac{\frac{1729}{36}}{\frac{1729}{36}}$

ステップ 1.11

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{\frac{1729}{180}} + \frac{{(y - \frac{55}{18})}^{2}}{\frac{1729}{324}} = 1$

ステップ 2

楕円の形です。この形を利用して、楕円の長軸と短軸、および中心を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

ステップ 3

この楕円の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $a$ は楕円の長軸の半径を、 $b$ は楕円の短軸の半径を、 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点からのy補正値を表します。

$a = \frac{\sqrt{8645}}{30}$

$b = \frac{\sqrt{1729}}{18}$

$k = \frac{55}{18}$

$h = - 1$

ステップ 4

楕円の中心は $(h, k)$ の形に従います。 $h$ と $k$ の値に代入します。

$(- 1, \frac{55}{18})$

ステップ 5

代数 例

代数例