代数例

$\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{3}$

ステップ 1

$x = \frac{1}{2}$ と $x = \frac{1}{3}$ は、二次方程式の2つの真の解です。つまり、 $x - \frac{1}{2}$ と $x - \frac{1}{3}$ は二次方程式の因数です。

$(x - \frac{1}{2}) (x - \frac{1}{3}) = 0$

ステップ 2

分配法則（FOIL法）を使って $(x - \frac{1}{2}) (x - \frac{1}{3})$ を展開します。

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ステップ 2.1

分配則を当てはめます。

$x (x - \frac{1}{3}) - \frac{1}{2} \cdot (x - \frac{1}{3}) = 0$

ステップ 2.2

分配則を当てはめます。

$x \cdot x + x (- \frac{1}{3}) - \frac{1}{2} \cdot (x - \frac{1}{3}) = 0$

ステップ 2.3

分配則を当てはめます。

$x \cdot x + x (- \frac{1}{3}) - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{3}) = 0$

ステップ 3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} + x (- \frac{1}{3}) - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{3}) = 0$

ステップ 3.1.2

$x$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$x^{2} - \frac{x}{3} - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{3}) = 0$

ステップ 3.1.3

$x$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$x^{2} - \frac{x}{3} - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{3}) = 0$

ステップ 3.1.4

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{3})$ を掛けます。

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ステップ 3.1.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x^{2} - \frac{x}{3} - \frac{x}{2} + 1 (\frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{3} = 0$

ステップ 3.1.4.2

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$x^{2} - \frac{x}{3} - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = 0$

ステップ 3.1.4.3

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$x^{2} - \frac{x}{3} - \frac{x}{2} + \frac{1}{2 \cdot 3} = 0$

ステップ 3.1.4.4

$2$ に $3$ をかけます。

$x^{2} - \frac{x}{3} - \frac{x}{2} + \frac{1}{6} = 0$

ステップ 3.2

$- \frac{x}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x^{2} - \frac{x}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{6} = 0$

ステップ 3.3

$- \frac{x}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$x^{2} - \frac{x}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{6} = 0$

ステップ 3.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $6$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 3.4.1

$\frac{x}{3}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$x^{2} - \frac{x \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{x}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{6} = 0$

ステップ 3.4.2

$3$ に $2$ をかけます。

$x^{2} - \frac{x \cdot 2}{6} - \frac{x}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{6} = 0$

ステップ 3.4.3

$\frac{x}{2}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$x^{2} - \frac{x \cdot 2}{6} - \frac{x \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{1}{6} = 0$

ステップ 3.4.4

$2$ に $3$ をかけます。

$x^{2} - \frac{x \cdot 2}{6} - \frac{x \cdot 3}{6} + \frac{1}{6} = 0$

ステップ 3.5

公分母の分子をまとめます。

$x^{2} + \frac{- x \cdot 2 - x \cdot 3}{6} + \frac{1}{6} = 0$

ステップ 3.6

$x^{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$x^{2} \cdot \frac{6}{6} + \frac{- x \cdot 2 - x \cdot 3}{6} + \frac{1}{6} = 0$

ステップ 3.7

$x^{2}$ と $\frac{6}{6}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} \cdot 6}{6} + \frac{- x \cdot 2 - x \cdot 3}{6} + \frac{1}{6} = 0$

ステップ 3.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x^{2} \cdot 6 - x \cdot 2 - x \cdot 3}{6} + \frac{1}{6} = 0$

ステップ 3.9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x^{2} \cdot 6 - x \cdot 2 - x \cdot 3 + 1}{6} = 0$

ステップ 4

分子を簡約します。

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ステップ 4.1

項を並べ替えます。

$\frac{6 x^{2} - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot (3 x) + 1}{6} = 0$

ステップ 4.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 4.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{(6 x^{2} - 1 \cdot (2 x)) - 1 \cdot (3 x) + 1}{6} = 0$

ステップ 4.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{2 x (3 x - 1) - (3 x - 1)}{6} = 0$

ステップ 4.3

最大公約数 $3 x - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{6} = 0$

ステップ 5

分配法則（FOIL法）を使って $(3 x - 1) (2 x - 1)$ を展開します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{3 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1)}{6} = 0$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1)}{6} = 0$

ステップ 5.3

分配則を当てはめます。

$\frac{3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{6} = 0$

ステップ 6

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 6.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{3 \cdot (2 x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{6} = 0$

ステップ 6.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 6.1.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{3 \cdot (2 (x \cdot x)) + 3 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{6} = 0$

ステップ 6.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{3 \cdot (2 x^{2}) + 3 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{6} = 0$

ステップ 6.1.3

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{6 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{6} = 0$

ステップ 6.1.4

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{6 x^{2} - 3 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{6} = 0$

ステップ 6.1.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{6 x^{2} - 3 x - 2 x - 1 \cdot - 1}{6} = 0$

ステップ 6.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{6 x^{2} - 3 x - 2 x + 1}{6} = 0$

ステップ 6.2

$- 3 x$ から $2 x$ を引きます。

$\frac{6 x^{2} - 5 x + 1}{6} = 0$

ステップ 7

分数 $\frac{6 x^{2} - 5 x + 1}{6}$ を2つの分数に分割します。

$\frac{6 x^{2} - 5 x}{6} + \frac{1}{6} = 0$

ステップ 8

分数 $\frac{6 x^{2} - 5 x}{6}$ を2つの分数に分割します。

$\frac{6 x^{2}}{6} + \frac{- 5 x}{6} + \frac{1}{6} = 0$

ステップ 9

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 x^{2}}{6} + \frac{- 5 x}{6} + \frac{1}{6} = 0$

ステップ 9.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} + \frac{- 5 x}{6} + \frac{1}{6} = 0$

ステップ 10

分数の前に負数を移動させます。

$x^{2} - \frac{5 x}{6} + \frac{1}{6} = 0$

ステップ 11

与えられた解の集合 ${\frac{1}{2}, \frac{1}{3}}$ を利用した標準二次方程式は $y = x^{2} - \frac{5 x}{6} + \frac{1}{6}$ です。

$y = x^{2} - \frac{5 x}{6} + \frac{1}{6}$

ステップ 12

代数 例

代数例