代数例

${(\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))}^{3}$

ステップ 1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

${(\frac{\sqrt{2}}{2} + i \sin (\frac{π}{4}))}^{3}$

ステップ 1.2

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

${(\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}$

ステップ 1.3

$i$ と $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をまとめます。

${(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

ステップ 2

二項定理を利用します。

${(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

ステップ 3

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

積の法則を $\frac{\sqrt{2}}{2}$ に当てはめます。

$\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

${\sqrt{2}}^{3}$ を $\sqrt{2^{3}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{2^{3}}}{2^{3}} + 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.2.2

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{\sqrt{8}}{2^{3}} + 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.2.3

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.3.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{4 (2)}}{2^{3}} + 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.2.3.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2^{3}} + 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.2.4

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{3}} + 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.3

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{2 \sqrt{2}}{8} + 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.4

$2$ と $8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.4.1

$2$ を $2 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 (\sqrt{2})}{8} + 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.4.2.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 4} + 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 4} + 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{2}}{4} + 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.5

積の法則を $\frac{\sqrt{2}}{2}$ に当てはめます。

$\frac{\sqrt{2}}{4} + 3 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{2}}{4} + 3 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{2}}{4} + 3 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{2}}{4} + 3 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{2}}{4} + 3 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{2}}{4} + 3 \frac{2^{1}}{2^{2}} \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.6.5

指数を求めます。

$\frac{\sqrt{2}}{4} + 3 \frac{2}{2^{2}} \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.7

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{2}}{4} + 3 (\frac{2}{4}) \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.8

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.8.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{2}}{4} + 3 \frac{2 (1)}{4} \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.8.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.8.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{2}}{4} + 3 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.8.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{2}}{4} + 3 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.8.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{2}}{4} + 3 (\frac{1}{2}) \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.9

$3$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3}{2} \cdot \frac{i \sqrt{2}}{2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.10

$\frac{3}{2} \cdot \frac{i \sqrt{2}}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.10.1

$\frac{3}{2}$ に $\frac{i \sqrt{2}}{2}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 (i \sqrt{2})}{2 \cdot 2} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.10.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 (i \sqrt{2})}{4} + 3 \frac{\sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.11

$3$ と $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.12

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.12.1

積の法則を $\frac{i \sqrt{2}}{2}$ に当てはめます。

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{{(i \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.12.2

積の法則を $i \sqrt{2}$ に当てはめます。

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{i^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.13

まとめる。

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{3 \sqrt{2} (i^{2} {\sqrt{2}}^{2})}{2 \cdot 2^{2}} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.14

指数を足して $\sqrt{2}$ に ${\sqrt{2}}^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.14.1

${\sqrt{2}}^{2}$ を移動させます。

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{3 ({\sqrt{2}}^{2} \sqrt{2}) i^{2}}{2 \cdot 2^{2}} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.14.2

${\sqrt{2}}^{2}$ に $\sqrt{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.14.2.1

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{3 ({\sqrt{2}}^{2} {\sqrt{2}}^{1}) i^{2}}{2 \cdot 2^{2}} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.14.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{3 {\sqrt{2}}^{2 + 1} i^{2}}{2 \cdot 2^{2}} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.14.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{3 {\sqrt{2}}^{3} i^{2}}{2 \cdot 2^{2}} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.15

指数を足して $2$ に $2^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.15.1

$2$ に $2^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.15.1.1

$2$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{3 {\sqrt{2}}^{3} i^{2}}{2^{1} \cdot 2^{2}} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.15.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{3 {\sqrt{2}}^{3} i^{2}}{2^{1 + 2}} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.15.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{3 {\sqrt{2}}^{3} i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.16

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.16.1

${\sqrt{2}}^{3}$ を $\sqrt{2^{3}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{3 \sqrt{2^{3}} i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.16.2

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{3 \sqrt{8} i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.16.3

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.16.3.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{3 \sqrt{4 (2)} i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.16.3.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{3 \sqrt{2^{2} \cdot 2} i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.16.4

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{3 (2 \sqrt{2}) i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.16.5

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{3 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot - 1}{2^{3}} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.16.6

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.16.6.1

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{6 \sqrt{2} \cdot - 1}{2^{3}} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.16.6.2

$- 1$ に $6$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{- 6 \sqrt{2}}{2^{3}} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.17

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{- 6 \sqrt{2}}{8} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.18

$- 6$ と $8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.18.1

$2$ を $- 6 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{2 (- 3 \sqrt{2})}{8} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.18.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.18.2.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{2 (- 3 \sqrt{2})}{2 (4)} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.18.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{2 (- 3 \sqrt{2})}{2 \cdot 4} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.18.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} + \frac{- 3 \sqrt{2}}{4} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.19

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} - \frac{3 \sqrt{2}}{4} + {(\frac{i \sqrt{2}}{2})}^{3}$

ステップ 3.1.20

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.20.1

積の法則を $\frac{i \sqrt{2}}{2}$ に当てはめます。

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} - \frac{3 \sqrt{2}}{4} + \frac{{(i \sqrt{2})}^{3}}{2^{3}}$

ステップ 3.1.20.2

積の法則を $i \sqrt{2}$ に当てはめます。

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} - \frac{3 \sqrt{2}}{4} + \frac{i^{3} {\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}}$

ステップ 3.1.21

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.21.1

$i^{2}$ を因数分解します。

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} - \frac{3 \sqrt{2}}{4} + \frac{i^{2} \cdot i {\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}}$

ステップ 3.1.21.2

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} - \frac{3 \sqrt{2}}{4} + \frac{- 1 \cdot i {\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}}$

ステップ 3.1.21.3

$- 1 i$ を $- i$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} - \frac{3 \sqrt{2}}{4} + \frac{- i {\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}}$

ステップ 3.1.21.4

${\sqrt{2}}^{3}$ を $\sqrt{2^{3}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} - \frac{3 \sqrt{2}}{4} + \frac{- i \sqrt{2^{3}}}{2^{3}}$

ステップ 3.1.21.5

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} - \frac{3 \sqrt{2}}{4} + \frac{- i \sqrt{8}}{2^{3}}$

ステップ 3.1.21.6

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.21.6.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} - \frac{3 \sqrt{2}}{4} + \frac{- i \sqrt{4 (2)}}{2^{3}}$

ステップ 3.1.21.6.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} - \frac{3 \sqrt{2}}{4} + \frac{- i \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2^{3}}$

ステップ 3.1.21.7

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} - \frac{3 \sqrt{2}}{4} + \frac{- i \cdot 2 \sqrt{2}}{2^{3}}$

ステップ 3.1.21.8

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} - \frac{3 \sqrt{2}}{4} + \frac{- 2 i \sqrt{2}}{2^{3}}$

ステップ 3.1.22

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} - \frac{3 \sqrt{2}}{4} + \frac{- 2 i \sqrt{2}}{8}$

ステップ 3.1.23

$- 2$ と $8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.23.1

$2$ を $- 2 i \sqrt{2}$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} - \frac{3 \sqrt{2}}{4} + \frac{2 (- i \sqrt{2})}{8}$

ステップ 3.1.23.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.23.2.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} - \frac{3 \sqrt{2}}{4} + \frac{2 (- i \sqrt{2})}{2 (4)}$

ステップ 3.1.23.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} - \frac{3 \sqrt{2}}{4} + \frac{2 (- i \sqrt{2})}{2 \cdot 4}$

ステップ 3.1.23.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} - \frac{3 \sqrt{2}}{4} + \frac{- i \sqrt{2}}{4}$

ステップ 3.1.24

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{3 i \sqrt{2}}{4} - \frac{3 \sqrt{2}}{4} - \frac{i \sqrt{2}}{4}$

ステップ 3.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\sqrt{2} + 3 i \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} - i \sqrt{2}}{4}$

ステップ 3.2.2

$\sqrt{2}$ から $3 \sqrt{2}$ を引きます。

$\frac{3 i \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - i \sqrt{2}}{4}$

ステップ 3.2.3

$3 i \sqrt{2}$ から $i \sqrt{2}$ を引きます。

$\frac{2 i \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}}{4}$

ステップ 3.2.4

$2 i \sqrt{2}$ と $- 2 \sqrt{2}$ を並べ替えます。

$\frac{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}{4}$

ステップ 3.2.5

$- 1$ を $- 2 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$\frac{- (2 \sqrt{2}) + 2 i \sqrt{2}}{4}$

ステップ 3.2.6

$- 1$ を $2 i \sqrt{2}$ で因数分解します。

$\frac{- (2 \sqrt{2}) - (- 2 i \sqrt{2})}{4}$

ステップ 3.2.7

$- 1$ を $- (2 \sqrt{2}) - (- 2 i \sqrt{2})$ で因数分解します。

$\frac{- (2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2})}{4}$

ステップ 3.2.8

式を簡約します。

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ステップ 3.2.8.1

$- (2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2})$ を $- 1 (2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2})$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2})}{4}$

ステップ 3.2.8.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}{4}$

ステップ 4

複素数の三角法の式です。ここで、 $| z |$ は絶対値、 $θ$ は複素数平面上にできる角です。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

ステップ 5

複素数の係数は、複素数平面上の原点からの距離です。

$z = a + b i$ ならば $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 6

$a = 0$ と $b = - \frac{1}{4}$ の実際の値を代入します。

$| z | = \sqrt{{(- \frac{1}{4})}^{2}}$

ステップ 7

$| z |$ を求めます。

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ステップ 7.1

積の法則を $- \frac{1}{4}$ に当てはめます。

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{4})}^{2}}$

ステップ 7.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{1 {(\frac{1}{4})}^{2}}$

ステップ 7.3

積の法則を $\frac{1}{4}$ に当てはめます。

$| z | = \sqrt{1 (\frac{1^{2}}{4^{2}})}$

ステップ 7.4

1のすべての数の累乗は1です。

$| z | = \sqrt{1 (\frac{1}{4^{2}})}$

ステップ 7.5

$4$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{1 (\frac{1}{16})}$

ステップ 7.6

$\frac{1}{16}$ に $1$ をかけます。

$| z | = \sqrt{\frac{1}{16}}$

ステップ 7.7

$\sqrt{\frac{1}{16}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{16}}$ に書き換えます。

$| z | = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{16}}$

ステップ 7.8

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$| z | = \frac{1}{\sqrt{16}}$

ステップ 7.9

分母を簡約します。

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ステップ 7.9.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$| z | = \frac{1}{\sqrt{4^{2}}}$

ステップ 7.9.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$| z | = \frac{1}{4}$

ステップ 8

複素平面上の点の角は、複素部分の実部分に対する逆正切です。

$θ = \arctan (\frac{- \frac{1}{4}}{0})$

ステップ 9

偏角が未定義で $b$ が負なので、複素平面上の点の角は $\frac{3 π}{2}$ です。

$θ = \frac{3 π}{2}$

ステップ 10

$θ = \frac{3 π}{2}$ と $| z | = \frac{1}{4}$ の値を代入します。

$\frac{1}{4 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))}$

代数 例

代数例