代数例

$- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} i$

ステップ 1

$i$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$

ステップ 2

複素数の三角法の式です。ここで、 $| z |$ は絶対値、 $θ$ は複素数平面上にできる角です。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

ステップ 3

複素数の係数は、複素数平面上の原点からの距離です。

$z = a + b i$ ならば $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 4

$a = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ と $b = - \frac{1}{2}$ の実際の値を代入します。

$| z | = \sqrt{{(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

ステップ 5

$| z |$ を求めます。

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ステップ 5.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 5.1.1

積の法則を $- \frac{1}{2}$ に当てはめます。

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

ステップ 5.1.2

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

ステップ 5.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{1 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

ステップ 5.3

$\frac{1^{2}}{2^{2}}$ に $1$ をかけます。

$| z | = \sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

ステップ 5.4

1のすべての数の累乗は1です。

$| z | = \sqrt{\frac{1}{2^{2}} + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

ステップ 5.5

$2$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

ステップ 5.6

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 5.6.1

積の法則を $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ に当てはめます。

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + {(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

ステップ 5.6.2

積の法則を $\frac{\sqrt{3}}{2}$ に当てはめます。

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + {(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}})}$

ステップ 5.7

式を簡約します。

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ステップ 5.7.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + 1 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}})}$

ステップ 5.7.2

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$ に $1$ をかけます。

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}$

ステップ 5.8

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 5.8.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

ステップ 5.8.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

ステップ 5.8.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

ステップ 5.8.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.8.4.1

共通因数を約分します。

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

ステップ 5.8.4.2

式を書き換えます。

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{2^{2}}}$

ステップ 5.8.5

指数を求めます。

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{2^{2}}}$

ステップ 5.9

式を簡約します。

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ステップ 5.9.1

$2$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}}$

ステップ 5.9.2

公分母の分子をまとめます。

$| z | = \sqrt{\frac{1 + 3}{4}}$

ステップ 5.9.3

$1$ と $3$ をたし算します。

$| z | = \sqrt{\frac{4}{4}}$

ステップ 5.9.4

$4$ を $4$ で割ります。

$| z | = \sqrt{1}$

ステップ 5.9.5

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$| z | = 1$

ステップ 6

複素平面上の点の角は、複素部分の実部分に対する逆正切です。

$θ = \arctan (\frac{- \frac{1}{2}}{- \frac{\sqrt{3}}{2}})$

ステップ 7

$\frac{- \frac{1}{2}}{- \frac{\sqrt{3}}{2}}$ の逆正接が第三象限で角を作るので、角の値は $\frac{7 π}{6}$ です。

$θ = \frac{7 π}{6}$

ステップ 8

$θ = \frac{7 π}{6}$ と $| z | = 1$ の値を代入します。

$\cos (\frac{7 π}{6}) + i \sin (\frac{7 π}{6})$

代数 例

代数例