代数例

$\sqrt[3]{8^{x}}$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = \sqrt[3]{8^{y}}$

ステップ 2

$y$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式を $\sqrt[3]{8^{y}} = x$ として書き換えます。

$\sqrt[3]{8^{y}} = x$

ステップ 2.2

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を3乗します。

${\sqrt[3]{8^{y}}}^{3} = x^{3}$

ステップ 2.3

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{8^{y}}$ を $8^{\frac{y}{3}}$ に書き換えます。

${(8^{\frac{y}{3}})}^{3} = x^{3}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

${(8^{\frac{y}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$8^{\frac{y}{3} \cdot 3} = x^{3}$

ステップ 2.3.2.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$8^{\frac{y}{3} \cdot 3} = x^{3}$

ステップ 2.3.2.1.2.2

式を書き換えます。

$8^{y} = x^{3}$

ステップ 2.4

$y$ について解きます。

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ステップ 2.4.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (8^{y}) = \ln (x^{3})$

ステップ 2.4.2

$y$ を対数の外に移動させて、 $\ln (8^{y})$ を展開します。

$y \ln (8) = \ln (x^{3})$

ステップ 2.4.3

$y \ln (8) = \ln (x^{3})$ の各項を $\ln (8)$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.4.3.1

$y \ln (8) = \ln (x^{3})$ の各項を $\ln (8)$ で割ります。

$\frac{y \ln (8)}{\ln (8)} = \frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}$

ステップ 2.4.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.4.3.2.1

$\ln (8)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y \ln (8)}{\ln (8)} = \frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}$

ステップ 2.4.3.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}$

ステップ 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}$ が $f (x) = \sqrt[3]{8^{x}}$ の逆か確認します。

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ステップ 4.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 4.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\sqrt[3]{8^{x}})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8^{x}}) = \frac{\ln ({(\sqrt[3]{8^{x}})}^{3})}{\ln (8)}$

ステップ 4.2.3

${\sqrt[3]{8^{x}}}^{3}$ を $8^{x}$ に書き換えます。

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ステップ 4.2.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{8^{x}}$ を $8^{\frac{x}{3}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8^{x}}) = \frac{\ln ({(8^{\frac{x}{3}})}^{3})}{\ln (8)}$

ステップ 4.2.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8^{x}}) = \frac{\ln (8^{\frac{x}{3} \cdot 3})}{\ln (8)}$

ステップ 4.2.3.3

$\frac{x}{3}$ と $3$ をまとめます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8^{x}}) = \frac{\ln (8^{\frac{x \cdot 3}{3}})}{\ln (8)}$

ステップ 4.2.3.4

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8^{x}}) = \frac{\ln (8^{\frac{x \cdot 3}{3}})}{\ln (8)}$

ステップ 4.2.3.4.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8^{x}}) = \frac{\ln (8^{x})}{\ln (8)}$

ステップ 4.2.4

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (8^{x})$ を展開します。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8^{x}}) = \frac{x \ln (8)}{\ln (8)}$

ステップ 4.2.5

$\ln (8)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.5.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8^{x}}) = \frac{x \ln (8)}{\ln (8)}$

ステップ 4.2.5.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8^{x}}) = x$

ステップ 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 4.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)})$ の値を求めます。

$f (\frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}) = \sqrt[3]{8^{\frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}}}$

ステップ 4.3.3

底の変換公式 $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ を利用します。

$f (\frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}) = \sqrt[3]{8^{\log_{8} (x^{3})}}$

ステップ 4.3.4

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (\frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

ステップ 4.3.5

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (\frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}) = x$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}$ は $f (x) = \sqrt[3]{8^{x}}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}$

代数 例

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