代数例

$z = x^{y} + \ln (x y)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (z) = \frac{d}{d x} (x^{y} + \ln (x y))$

ステップ 2

$x$ に関する $z$ の微分係数は $z'$ です。

$z'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

微分します。

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ステップ 3.1.1

総和則では、 $x^{y} + \ln (x y)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{y}] + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{y}] + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

ステップ 3.1.2

$n = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y x^{y - 1} + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x y$ とします。

$y x^{y - 1} + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 3.2.1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$y x^{y - 1} + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 3.2.1.3

$u$ のすべての発生を $x y$ で置き換えます。

$y x^{y - 1} + \frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 3.2.2

$y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $x y$ の微分係数は $y \frac{d}{d x} [x]$ です。

$y x^{y - 1} + \frac{1}{x y} (y \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y x^{y - 1} + \frac{1}{x y} (y \cdot 1)$

ステップ 3.2.4

$y$ に $1$ をかけます。

$y x^{y - 1} + \frac{1}{x y} y$

ステップ 3.2.5

$\frac{1}{x y}$ と $y$ をまとめます。

$y x^{y - 1} + \frac{y}{x y}$

ステップ 3.2.6

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.6.1

共通因数を約分します。

$y x^{y - 1} + \frac{y}{x y}$

ステップ 3.2.6.2

式を書き換えます。

$y x^{y - 1} + \frac{1}{x}$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

項をまとめます。

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ステップ 3.3.1.1

$y x^{y - 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$\frac{y x^{y - 1} x}{x} + \frac{1}{x}$

ステップ 3.3.1.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{y x^{y - 1} x + 1}{x}$

ステップ 3.3.1.3

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{y (x^{1} x^{y - 1}) + 1}{x}$

ステップ 3.3.1.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{y x^{1 + y - 1} + 1}{x}$

ステップ 3.3.1.5

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{y x^{y + 0} + 1}{x}$

ステップ 3.3.1.6

$y$ と $0$ をたし算します。

$\frac{y x^{y} + 1}{x}$

ステップ 3.3.2

項を並べ替えます。

$\frac{x^{y} y + 1}{x}$

ステップ 3.3.3

$\frac{x^{y} y + 1}{x}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{y x^{y} + 1}{x}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$z' = \frac{y x^{y} + 1}{x}$

ステップ 5

$z'$ を $\frac{d z}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d z}{d x} = \frac{y x^{y} + 1}{x}$

代数 例

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