代数例

$y = 3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x - 1$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x - 1)$

ステップ 2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x - 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [3 x^{3}] + \frac{d}{d y} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [5 x] + \frac{d}{d y} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d y} [3 x^{3}] + \frac{d}{d y} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [5 x] + \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d y} [3 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$3$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $3 x^{3}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d y} [x^{3}]$ です。

$3 \frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [5 x] + \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 3.2.2

$f (y) = y^{3}$ および $g (y) = x$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x$ とします。

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [5 x] + \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 3.2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [5 x] + \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 3.2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$3 (3 x^{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [5 x] + \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 3.2.3

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$3 (3 x^{2} x') + \frac{d}{d y} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [5 x] + \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 3.2.4

$3$ に $3$ をかけます。

$9 x^{2} x' + \frac{d}{d y} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [5 x] + \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d y} [- 2 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$- 2$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- 2 x^{2}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ です。

$9 x^{2} x' - 2 \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [5 x] + \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 3.3.2

$f (y) = y^{2}$ および $g (y) = x$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x$ とします。

$9 x^{2} x' - 2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [5 x] + \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 3.3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$9 x^{2} x' - 2 (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [5 x] + \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 3.3.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$9 x^{2} x' - 2 (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [5 x] + \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 3.3.3

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$9 x^{2} x' - 2 (2 x x') + \frac{d}{d y} [5 x] + \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 3.3.4

$2$ に $- 2$ をかけます。

$9 x^{2} x' - 4 x x' + \frac{d}{d y} [5 x] + \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d y} [5 x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.4.1

$5$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d y} [x]$ です。

$9 x^{2} x' - 4 x x' + 5 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 3.4.2

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$9 x^{2} x' - 4 x x' + 5 x' + \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 3.5

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 3.5.1

$- 1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$9 x^{2} x' - 4 x x' + 5 x' + 0$

ステップ 3.5.2

$9 x^{2} x' - 4 x x' + 5 x'$ と $0$ をたし算します。

$9 x^{2} x' - 4 x x' + 5 x'$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$1 = 9 x^{2} x' - 4 x x' + 5 x'$

ステップ 5

$x'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式を $9 x^{2} x' - 4 x x' + 5 x' = 1$ として書き換えます。

$9 x^{2} x' - 4 x x' + 5 x' = 1$

ステップ 5.2

$x'$ を $9 x^{2} x' - 4 x x' + 5 x'$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$x'$ を $9 x^{2} x'$ で因数分解します。

$x' (9 x^{2}) - 4 x x' + 5 x' = 1$

ステップ 5.2.2

$x'$ を $- 4 x x'$ で因数分解します。

$x' (9 x^{2}) + x' (- 4 x) + 5 x' = 1$

ステップ 5.2.3

$x'$ を $5 x'$ で因数分解します。

$x' (9 x^{2}) + x' (- 4 x) + x' \cdot 5 = 1$

ステップ 5.2.4

$x'$ を $x' (9 x^{2}) + x' (- 4 x)$ で因数分解します。

$x' (9 x^{2} - 4 x) + x' \cdot 5 = 1$

ステップ 5.2.5

$x'$ を $x' (9 x^{2} - 4 x) + x' \cdot 5$ で因数分解します。

$x' (9 x^{2} - 4 x + 5) = 1$

ステップ 5.3

$x' (9 x^{2} - 4 x + 5) = 1$ の各項を $9 x^{2} - 4 x + 5$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$x' (9 x^{2} - 4 x + 5) = 1$ の各項を $9 x^{2} - 4 x + 5$ で割ります。

$\frac{x' (9 x^{2} - 4 x + 5)}{9 x^{2} - 4 x + 5} = \frac{1}{9 x^{2} - 4 x + 5}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$9 x^{2} - 4 x + 5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x' (9 x^{2} - 4 x + 5)}{9 x^{2} - 4 x + 5} = \frac{1}{9 x^{2} - 4 x + 5}$

ステップ 5.3.2.1.2

$x'$ を $1$ で割ります。

$x' = \frac{1}{9 x^{2} - 4 x + 5}$

ステップ 6

$x'$ を $\frac{d x}{d y}$ で置き換えます。

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{9 x^{2} - 4 x + 5}$

代数 例

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