代数例

$z = x^{y} + \ln (x y)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d y} (z) = \frac{d}{d y} (x^{y} + \ln (x y))$

ステップ 2

$z$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $z$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $x^{y} + \ln (x y)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [x^{y}] + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$ です。

$\frac{d}{d y} [x^{y}] + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d y} [x^{y}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$f = x$ および $g = y$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f^{g}]$ は $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ であるという一般化べき乗則を使って微分します。

$\frac{d}{d y} [x] (y x^{y - 1}) + \frac{d}{d y} [y] (x^{y} \ln (x)) + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$

ステップ 3.2.2

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$x' (y x^{y - 1}) + \frac{d}{d y} [y] (x^{y} \ln (x)) + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$

ステップ 3.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x' (y x^{y - 1}) + 1 (x^{y} \ln (x)) + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$

ステップ 3.2.4

$x^{y}$ に $1$ をかけます。

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d y} [\ln (x y)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$f (y) = \ln (y)$ および $g (y) = x y$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x y$ とします。

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [x y]$

ステップ 3.3.1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{u} \frac{d}{d y} [x y]$

ステップ 3.3.1.3

$u$ のすべての発生を $x y$ で置き換えます。

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} \frac{d}{d y} [x y]$

ステップ 3.3.2

$f (y) = x$ および $g (y) = y$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x])$

ステップ 3.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x])$

ステップ 3.3.4

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} (x \cdot 1 + y x')$

ステップ 3.3.5

$x$ に $1$ をかけます。

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} (x + y x')$

ステップ 3.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

分配則を当てはめます。

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} x + \frac{1}{x y} (y x')$

ステップ 3.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

$\frac{1}{x y}$ と $x$ をまとめます。

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{x}{x y} + \frac{1}{x y} (y x')$

ステップ 3.4.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.2.1

共通因数を約分します。

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{x}{x y} + \frac{1}{x y} (y x')$

ステップ 3.4.2.2.2

式を書き換えます。

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{y} + \frac{1}{x y} (y x')$

ステップ 3.4.2.3

$y$ と $\frac{1}{x y}$ をまとめます。

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{y} + \frac{y}{x y} x'$

ステップ 3.4.2.4

$\frac{y}{x y}$ と $x'$ をまとめます。

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{y} + \frac{y x'}{x y}$

ステップ 3.4.2.5

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.5.1

共通因数を約分します。

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{y} + \frac{y x'}{x y}$

ステップ 3.4.2.5.2

式を書き換えます。

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{y} + \frac{x'}{x}$

ステップ 3.4.2.6

$x' (y x^{y - 1})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{y}{y}$ を掛けます。

$x^{y} \ln (x) + \frac{x' (y x^{y - 1}) y}{y} + \frac{1}{y} + \frac{x'}{x}$

ステップ 3.4.2.7

公分母の分子をまとめます。

$x^{y} \ln (x) + \frac{x' (y x^{y - 1}) y + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

ステップ 3.4.2.8

$y$ を $1$ 乗します。

$x^{y} \ln (x) + \frac{x' (x^{y - 1}) (y^{1} y) + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

ステップ 3.4.2.9

$y$ を $1$ 乗します。

$x^{y} \ln (x) + \frac{x' (x^{y - 1}) (y^{1} y^{1}) + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

ステップ 3.4.2.10

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{y} \ln (x) + \frac{x' (x^{y - 1}) y^{1 + 1} + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

ステップ 3.4.2.11

$1$ と $1$ をたし算します。

$x^{y} \ln (x) + \frac{x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

ステップ 3.4.2.12

$x^{y} \ln (x)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{y}{y}$ を掛けます。

$\frac{x^{y} \ln (x) y}{y} + \frac{x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

ステップ 3.4.2.13

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

ステップ 3.4.2.14

$\frac{x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$\frac{x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{x'}{x}$

ステップ 3.4.2.15

$\frac{x'}{x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{y}{y}$ を掛けます。

$\frac{x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{x'}{x} \cdot \frac{y}{y}$

ステップ 3.4.2.16

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $y x$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.16.1

$\frac{x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y}$ に $\frac{x}{x}$ をかけます。

$\frac{(x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1) x}{y x} + \frac{x'}{x} \cdot \frac{y}{y}$

ステップ 3.4.2.16.2

$\frac{x'}{x}$ に $\frac{y}{y}$ をかけます。

$\frac{(x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1) x}{y x} + \frac{x' y}{x y}$

ステップ 3.4.2.16.3

$y x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{(x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1) x}{x y} + \frac{x' y}{x y}$

ステップ 3.4.2.17

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1) x + x' y}{x y}$

ステップ 3.4.3

項を並べ替えます。

$\frac{x (x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1) + y x'}{x y}$

ステップ 3.4.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x (x^{y} \ln (x) y) + x (x' (x^{y - 1}) y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

ステップ 3.4.4.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.2.1

指数を足して $x$ に $x^{y}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.2.1.1

$x^{y}$ を移動させます。

$\frac{x^{y} x (\ln (x) y) + x (x' (x^{y - 1}) y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

ステップ 3.4.4.2.1.2

$x^{y}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.2.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{y} x^{1} (\ln (x) y) + x (x' (x^{y - 1}) y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

ステップ 3.4.4.2.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x (x' (x^{y - 1}) y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

ステップ 3.4.4.2.2

指数を足して $x$ に $x^{y - 1}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.2.2.1

$x^{y - 1}$ を移動させます。

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y - 1} x (x' y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

ステップ 3.4.4.2.2.2

$x^{y - 1}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.2.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y - 1} x^{1} (x' y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

ステップ 3.4.4.2.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y - 1 + 1} (x' y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

ステップ 3.4.4.2.2.3

$y - 1 + 1$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.2.2.3.1

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y + 0} (x' y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

ステップ 3.4.4.2.2.3.2

$y$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y} (x' y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

ステップ 3.4.4.2.3

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y} (x' y^{2}) + x + y x'}{x y}$

ステップ 3.4.5

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y} (x' y^{2}) + x + y x'}{x y}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{y x^{y + 1} \ln (x) + y^{2} x^{y} x' + x + y x'}{x y}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$0 = \frac{y x^{y + 1} \ln (x) + y^{2} x^{y} x' + x + y x'}{x y}$

ステップ 5

$x'$ について解きます。

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ステップ 5.1

分子を0に等しくします。

$y x^{y + 1} \ln (x) + y^{2} x^{y} x' + x + y x' = 0$

ステップ 5.2

$x'$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$y x^{y + 1} \ln (x) + y^{2} x^{y} x' + x + y x'$ の因数を並べ替えます。

$y x^{y + 1} \ln (x) + y^{2} x' x^{y} + x + y x' = 0$

ステップ 5.2.2

$x'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

方程式の両辺から $y x^{y + 1} \ln (x)$ を引きます。

$y^{2} x' x^{y} + x + y x' = - y x^{y + 1} \ln (x)$

ステップ 5.2.2.2

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$y^{2} x' x^{y} + y x' = - y x^{y + 1} \ln (x) - x$

ステップ 5.2.3

$y x'$ を $y^{2} x' x^{y} + y x'$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$y x'$ を $y^{2} x' x^{y}$ で因数分解します。

$y x' (y x^{y}) + y x' = - y x^{y + 1} \ln (x) - x$

ステップ 5.2.3.2

$y x'$ を $y x'$ で因数分解します。

$y x' (y x^{y}) + y x' \cdot 1 = - y x^{y + 1} \ln (x) - x$

ステップ 5.2.3.3

$y x'$ を $y x' (y x^{y}) + y x' \cdot 1$ で因数分解します。

$y x' (y x^{y} + 1) = - y x^{y + 1} \ln (x) - x$

ステップ 5.2.4

$y x' (y x^{y} + 1) = - y x^{y + 1} \ln (x) - x$ の各項を $y (y x^{y} + 1)$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

$y x' (y x^{y} + 1) = - y x^{y + 1} \ln (x) - x$ の各項を $y (y x^{y} + 1)$ で割ります。

$\frac{y x' (y x^{y} + 1)}{y (y x^{y} + 1)} = \frac{- y x^{y + 1} \ln (x)}{y (y x^{y} + 1)} + \frac{- x}{y (y x^{y} + 1)}$

ステップ 5.2.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.2.1

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y x' (y x^{y} + 1)}{y (y x^{y} + 1)} = \frac{- y x^{y + 1} \ln (x)}{y (y x^{y} + 1)} + \frac{- x}{y (y x^{y} + 1)}$

ステップ 5.2.4.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{x' (y x^{y} + 1)}{y x^{y} + 1} = \frac{- y x^{y + 1} \ln (x)}{y (y x^{y} + 1)} + \frac{- x}{y (y x^{y} + 1)}$

ステップ 5.2.4.2.2

$y x^{y} + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x' (y x^{y} + 1)}{y x^{y} + 1} = \frac{- y x^{y + 1} \ln (x)}{y (y x^{y} + 1)} + \frac{- x}{y (y x^{y} + 1)}$

ステップ 5.2.4.2.2.2

$x'$ を $1$ で割ります。

$x' = \frac{- y x^{y + 1} \ln (x)}{y (y x^{y} + 1)} + \frac{- x}{y (y x^{y} + 1)}$

ステップ 5.2.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.3.1

公分母の分子をまとめます。

$x' = \frac{- y x^{y + 1} \ln (x) - x}{y (y x^{y} + 1)}$

ステップ 5.2.4.3.2

$- 1$ を $- y x^{y + 1} \ln (x)$ で因数分解します。

$x' = \frac{- (y x^{y + 1} \ln (x)) - x}{y (y x^{y} + 1)}$

ステップ 5.2.4.3.3

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$x' = \frac{- (y x^{y + 1} \ln (x)) - (x)}{y (y x^{y} + 1)}$

ステップ 5.2.4.3.4

$- 1$ を $- (y x^{y + 1} \ln (x)) - (x)$ で因数分解します。

$x' = \frac{- (y x^{y + 1} \ln (x) + x)}{y (y x^{y} + 1)}$

ステップ 5.2.4.3.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.3.5.1

$- (y x^{y + 1} \ln (x) + x)$ を $- 1 (y x^{y + 1} \ln (x) + x)$ に書き換えます。

$x' = \frac{- 1 (y x^{y + 1} \ln (x) + x)}{y (y x^{y} + 1)}$

ステップ 5.2.4.3.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$x' = - \frac{y x^{y + 1} \ln (x) + x}{y (y x^{y} + 1)}$

ステップ 6

$x'$ を $\frac{d x}{d y}$ で置き換えます。

$\frac{d x}{d y} = - \frac{y x^{y + 1} \ln (x) + x}{y (y x^{y} + 1)}$

代数 例

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