代数例

$\frac{5 x}{x^{2} + 2 x - 8} \geq 3$

ステップ 1

$- 4 < x \leq - 3 or 2 < x \leq \frac{8}{3}$ を解きます。

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ステップ 1.1

両辺に $x^{2} + 2 x - 8$ を掛けます。

$\frac{5 x}{x^{2} + 2 x - 8} (x^{2} + 2 x - 8) = 3 (x^{2} + 2 x - 8)$

ステップ 1.2

簡約します。

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ステップ 1.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

$x^{2} + 2 x - 8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 x}{x^{2} + 2 x - 8} (x^{2} + 2 x - 8) = 3 (x^{2} + 2 x - 8)$

ステップ 1.2.1.1.2

式を書き換えます。

$5 x = 3 (x^{2} + 2 x - 8)$

ステップ 1.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.1

$3 (x^{2} + 2 x - 8)$ を簡約します。

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ステップ 1.2.2.1.1

分配則を当てはめます。

$5 x = 3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot - 8$

ステップ 1.2.2.1.2

簡約します。

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ステップ 1.2.2.1.2.1

$2$ に $3$ をかけます。

$5 x = 3 x^{2} + 6 x + 3 \cdot - 8$

ステップ 1.2.2.1.2.2

$3$ に $- 8$ をかけます。

$5 x = 3 x^{2} + 6 x - 24$

ステップ 1.3

$x$ について解きます。

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ステップ 1.3.1

$x$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$3 x^{2} + 6 x - 24 = 5 x$

ステップ 1.3.2

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 1.3.2.1

方程式の両辺から $5 x$ を引きます。

$3 x^{2} + 6 x - 24 - 5 x = 0$

ステップ 1.3.2.2

$6 x$ から $5 x$ を引きます。

$3 x^{2} + x - 24 = 0$

ステップ 1.3.3

群による因数分解。

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ステップ 1.3.3.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 3 \cdot - 24 = - 72$ で和が $b = 1$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 1.3.3.1.1

$1$ を掛けます。

$3 x^{2} + 1 x - 24 = 0$

ステップ 1.3.3.1.2

$1$ を $- 8$ プラス $9$ に書き換える

$3 x^{2} + (- 8 + 9) x - 24 = 0$

ステップ 1.3.3.1.3

分配則を当てはめます。

$3 x^{2} - 8 x + 9 x - 24 = 0$

ステップ 1.3.3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.3.3.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(3 x^{2} - 8 x) + 9 x - 24 = 0$

ステップ 1.3.3.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x (3 x - 8) + 3 (3 x - 8) = 0$

ステップ 1.3.3.3

最大公約数 $3 x - 8$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(3 x - 8) (x + 3) = 0$

ステップ 1.3.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$3 x - 8 = 0$

$x + 3 = 0$

ステップ 1.3.5

$3 x - 8$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.3.5.1

$3 x - 8$ が $0$ に等しいとします。

$3 x - 8 = 0$

ステップ 1.3.5.2

$x$ について $3 x - 8 = 0$ を解きます。

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ステップ 1.3.5.2.1

方程式の両辺に $8$ を足します。

$3 x = 8$

ステップ 1.3.5.2.2

$3 x = 8$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.3.5.2.2.1

$3 x = 8$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{8}{3}$

ステップ 1.3.5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.3.5.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{8}{3}$

ステップ 1.3.5.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{8}{3}$

ステップ 1.3.6

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.3.6.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 1.3.6.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 1.3.7

最終解は $(3 x - 8) (x + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{8}{3}, - 3$

ステップ 1.4

$\frac{5 x}{(x - 2) (x + 4)} - 3$ の定義域を求めます。

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ステップ 1.4.1

$\frac{5 x}{(x - 2) (x + 4)}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$(x - 2) (x + 4) = 0$

ステップ 1.4.2

$x$ について解きます。

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ステップ 1.4.2.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

ステップ 1.4.2.2

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.4.2.2.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 1.4.2.2.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 1.4.2.3

$x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.4.2.3.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 1.4.2.3.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 1.4.2.4

最終解は $(x - 2) (x + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2, - 4$

ステップ 1.4.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 2) \cup (2, \infty)$

ステップ 1.5

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 4$

$- 4 < x < - 3$

$- 3 < x < 2$

$2 < x < \frac{8}{3}$

$x > \frac{8}{3}$

ステップ 1.6

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 1.6.1

区間 $x < - 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 1.6.1.1

区間 $x < - 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 6$

ステップ 1.6.1.2

$x$ を元の不等式の $- 6$ で置き換えます。

$\frac{5 (- 6)}{{(- 6)}^{2} + 2 (- 6) - 8} \geq 3$

ステップ 1.6.1.3

左辺 $- 1.875$ は右辺 $3$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 1.6.2

区間 $- 4 < x < - 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 1.6.2.1

区間 $- 4 < x < - 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 3.5$

ステップ 1.6.2.2

$x$ を元の不等式の $- 3.5$ で置き換えます。

$\frac{5 (- 3.5)}{{(- 3.5)}^{2} + 2 (- 3.5) - 8} \geq 3$

ステップ 1.6.2.3

左辺 $6.\overline{36}$ は右辺 $3$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 1.6.3

区間 $- 3 < x < 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 1.6.3.1

区間 $- 3 < x < 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 1.6.3.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\frac{5 (0)}{{(0)}^{2} + 2 (0) - 8} \geq 3$

ステップ 1.6.3.3

左辺 $0$ は右辺 $3$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 1.6.4

区間 $2 < x < \frac{8}{3}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 1.6.4.1

区間 $2 < x < \frac{8}{3}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2.33$

ステップ 1.6.4.2

$x$ を元の不等式の $2.33$ で置き換えます。

$\frac{5 (2.33)}{{(2.33)}^{2} + 2 (2.33) - 8} \geq 3$

ステップ 1.6.4.3

左辺 $5.57709799$ は右辺 $3$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 1.6.5

区間 $x > \frac{8}{3}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 1.6.5.1

区間 $x > \frac{8}{3}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 5$

ステップ 1.6.5.2

$x$ を元の不等式の $5$ で置き換えます。

$\frac{5 (5)}{{(5)}^{2} + 2 (5) - 8} \geq 3$

ステップ 1.6.5.3

左辺 $0.\overline{925}$ は右辺 $3$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 1.6.6

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 4$ 偽

$- 4 < x < - 3$ 真

$- 3 < x < 2$ 偽

$2 < x < \frac{8}{3}$ 真

$x > \frac{8}{3}$ 偽

$x < - 4$ 偽

$- 4 < x < - 3$ 真

$- 3 < x < 2$ 偽

$2 < x < \frac{8}{3}$ 真

$x > \frac{8}{3}$ 偽

ステップ 1.7

解はすべての真の区間からなります。

$- 4 < x \leq - 3$ または $2 < x \leq \frac{8}{3}$

ステップ 2

不等式 $- 4 < x \leq - 3 or 2 < x \leq \frac{8}{3}$ を利用して集合の表記をつくります。

${x | - 4 < x \leq - 3 or 2 < x \leq \frac{8}{3}}$

ステップ 3

代数 例

代数例