代数例

$\ln (x^{2} + y^{2}) = x y$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (\ln (x^{2} + y^{2})) = \frac{d}{d x} (x y)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{2} + y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x^{2} + y^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

ステップ 2.1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

ステップ 2.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{2} + y^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

ステップ 2.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $x^{2} + y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

ステップ 2.3

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $y$ とします。

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y')$

ステップ 2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y')$ の因数を並べ替えます。

$(2 x + 2 y y') \frac{1}{x^{2} + y^{2}}$

ステップ 2.5.2

$2 x + 2 y y'$ に $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ をかけます。

$\frac{2 x + 2 y y'}{x^{2} + y^{2}}$

ステップ 2.5.3

$2$ を $2 x + 2 y y'$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (x) + 2 y y'}{x^{2} + y^{2}}$

ステップ 2.5.3.2

$2$ を $2 y y'$ で因数分解します。

$\frac{2 (x) + 2 (y y')}{x^{2} + y^{2}}$

ステップ 2.5.3.3

$2$ を $2 (x) + 2 (y y')$ で因数分解します。

$\frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}}$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x y' + y \cdot 1$

ステップ 3.4

$y$ に $1$ をかけます。

$x y' + y$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$\frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} = x y' + y$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

両辺に $x^{2} + y^{2}$ を掛けます。

$\frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2}) = (x y' + y) (x^{2} + y^{2})$

ステップ 5.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$\frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.1

$x^{2} + y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2}) = (x y' + y) (x^{2} + y^{2})$

ステップ 5.2.1.1.1.2

式を書き換えます。

$2 (x + y y') = (x y' + y) (x^{2} + y^{2})$

ステップ 5.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$2 x + 2 (y y') = (x y' + y) (x^{2} + y^{2})$

ステップ 5.2.1.1.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.3.1

$y$ を移動させます。

$2 x + 2 y' y = (x y' + y) (x^{2} + y^{2})$

ステップ 5.2.1.1.3.2

$2 x$ と $2 y' y$ を並べ替えます。

$2 y' y + 2 x = (x y' + y) (x^{2} + y^{2})$

ステップ 5.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$(x y' + y) (x^{2} + y^{2})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x y' + y) (x^{2} + y^{2})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$2 y' y + 2 x = x y' (x^{2} + y^{2}) + y (x^{2} + y^{2})$

ステップ 5.2.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$2 y' y + 2 x = x y' x^{2} + x y' y^{2} + y (x^{2} + y^{2})$

ステップ 5.2.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$2 y' y + 2 x = x y' x^{2} + x y' y^{2} + y x^{2} + y \cdot y^{2}$

ステップ 5.2.2.1.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.2.1.1

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.2.1.1.1

$x^{2}$ を移動させます。

$2 y' y + 2 x = x^{2} x y' + x y' y^{2} + y x^{2} + y \cdot y^{2}$

ステップ 5.2.2.1.2.1.1.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.2.1.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$2 y' y + 2 x = x^{2} x^{1} y' + x y' y^{2} + y x^{2} + y \cdot y^{2}$

ステップ 5.2.2.1.2.1.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 y' y + 2 x = x^{2 + 1} y' + x y' y^{2} + y x^{2} + y \cdot y^{2}$

ステップ 5.2.2.1.2.1.1.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$2 y' y + 2 x = x^{3} y' + x y' y^{2} + y x^{2} + y \cdot y^{2}$

ステップ 5.2.2.1.2.1.2

指数を足して $y$ に $y^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.2.1.2.1

$y$ に $y^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.2.1.2.1.1

$y$ を $1$ 乗します。

$2 y' y + 2 x = x^{3} y' + x y' y^{2} + y x^{2} + y^{1} y^{2}$

ステップ 5.2.2.1.2.1.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 y' y + 2 x = x^{3} y' + x y' y^{2} + y x^{2} + y^{1 + 2}$

ステップ 5.2.2.1.2.1.2.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$2 y' y + 2 x = x^{3} y' + x y' y^{2} + y x^{2} + y^{3}$

ステップ 5.2.2.1.2.2

交換して簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.2.2.1

$x^{3}$ と $y'$ を並べ替えます。

$2 y' y + 2 x = y' x^{3} + x y' y^{2} + y x^{2} + y^{3}$

ステップ 5.2.2.1.2.2.2

$x$ と $y'$ を並べ替えます。

$2 y' y + 2 x = y' x^{3} + y' x y^{2} + y x^{2} + y^{3}$

ステップ 5.2.2.1.2.2.3

$y$ と $x^{2}$ を並べ替えます。

$2 y' y + 2 x = y' x^{3} + y' x y^{2} + x^{2} y + y^{3}$

ステップ 5.3

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$y'$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$y' x^{3} + y' x y^{2} + x^{2} y + y^{3} = 2 y' y + 2 x$

ステップ 5.3.2

方程式の両辺から $2 y' y$ を引きます。

$y' x^{3} + y' x y^{2} + x^{2} y + y^{3} - 2 y' y = 2 x$

ステップ 5.3.3

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

方程式の両辺から $x^{2} y$ を引きます。

$y' x^{3} + y' x y^{2} + y^{3} - 2 y' y = 2 x - x^{2} y$

ステップ 5.3.3.2

方程式の両辺から $y^{3}$ を引きます。

$y' x^{3} + y' x y^{2} - 2 y' y = 2 x - x^{2} y - y^{3}$

ステップ 5.3.4

$y'$ を $y' x^{3} + y' x y^{2} - 2 y' y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

$y'$ を $y' x^{3}$ で因数分解します。

$y' (x^{3}) + y' (x) y^{2} - 2 y' y = 2 x - x^{2} y - y^{3}$

ステップ 5.3.4.2

$y'$ を $y' x y^{2}$ で因数分解します。

$y' (x^{3}) + y' (x y^{2}) - 2 y' y = 2 x - x^{2} y - y^{3}$

ステップ 5.3.4.3

$y'$ を $- 2 y' y$ で因数分解します。

$y' (x^{3}) + y' (x y^{2}) + y' (- 2 y) = 2 x - x^{2} y - y^{3}$

ステップ 5.3.4.4

$y'$ を $y' (x^{3}) + y' (x y^{2})$ で因数分解します。

$y' (x^{3} + x y^{2}) + y' (- 2 y) = 2 x - x^{2} y - y^{3}$

ステップ 5.3.4.5

$y'$ を $y' (x^{3} + x y^{2}) + y' (- 2 y)$ で因数分解します。

$y' (x^{3} + x y^{2} - 2 y) = 2 x - x^{2} y - y^{3}$

ステップ 5.3.5

$y' (x^{3} + x y^{2} - 2 y) = 2 x - x^{2} y - y^{3}$ の各項を $x^{3} + x y^{2} - 2 y$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.1

$y' (x^{3} + x y^{2} - 2 y) = 2 x - x^{2} y - y^{3}$ の各項を $x^{3} + x y^{2} - 2 y$ で割ります。

$\frac{y' (x^{3} + x y^{2} - 2 y)}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} = \frac{2 x}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} + \frac{- x^{2} y}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} + \frac{- y^{3}}{x^{3} + x y^{2} - 2 y}$

ステップ 5.3.5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.2.1

$x^{3} + x y^{2} - 2 y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (x^{3} + x y^{2} - 2 y)}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} = \frac{2 x}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} + \frac{- x^{2} y}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} + \frac{- y^{3}}{x^{3} + x y^{2} - 2 y}$

ステップ 5.3.5.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{2 x}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} + \frac{- x^{2} y}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} + \frac{- y^{3}}{x^{3} + x y^{2} - 2 y}$

ステップ 5.3.5.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.3.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{2 x}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} - \frac{x^{2} y}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} + \frac{- y^{3}}{x^{3} + x y^{2} - 2 y}$

ステップ 5.3.5.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{2 x}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} - \frac{x^{2} y}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} - \frac{y^{3}}{x^{3} + x y^{2} - 2 y}$

ステップ 5.3.5.3.2

1つの分数にまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.3.2.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{2 x - x^{2} y}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} - \frac{y^{3}}{x^{3} + x y^{2} - 2 y}$

ステップ 5.3.5.3.2.2

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{2 x - x^{2} y - y^{3}}{x^{3} + x y^{2} - 2 y}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x - x^{2} y - y^{3}}{x^{3} + x y^{2} - 2 y}$

代数 例

代数例