代数例

${(x + \frac{1}{x})}^{3}$

ステップ 1

二項展開定理を利用して各項を求めます。二項定理は ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ を述べたものです。

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(x)}^{3 - k} \cdot {(\frac{1}{x})}^{k}$

ステップ 2

総和を展開します。

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} {(x)}^{3 - 0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} {(x)}^{3 - 1} \cdot {(\frac{1}{x})}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} {(x)}^{3 - 2} \cdot {(\frac{1}{x})}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} {(x)}^{3 - 3} \cdot {(\frac{1}{x})}^{3}$

ステップ 3

展開の各項の指数を簡約します。

$1 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(\frac{1}{x})}^{0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{3}$

ステップ 4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

${(x)}^{3}$ に $1$ をかけます。

${(x)}^{3} \cdot {(\frac{1}{x})}^{0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{3}$

ステップ 4.2

積の法則を $\frac{1}{x}$ に当てはめます。

$x^{3} \cdot \frac{1^{0}}{x^{0}} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{3}$

ステップ 4.3

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$x^{3} \cdot \frac{1}{x^{0}} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{3}$

ステップ 4.4

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$x^{3} \cdot \frac{1}{1} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{3}$

ステップ 4.5

$1$ を $1$ で割ります。

$x^{3} \cdot 1 + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{3}$

ステップ 4.6

$x^{3}$ に $1$ をかけます。

$x^{3} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{3}$

ステップ 4.7

簡約します。

$x^{3} + 3 x^{2} \cdot \frac{1}{x} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{3}$

ステップ 4.8

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.1

$x$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$x^{3} + x (3 x) \cdot \frac{1}{x} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{3}$

ステップ 4.8.2

共通因数を約分します。

$x^{3} + x (3 x) \cdot \frac{1}{x} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{3}$

ステップ 4.8.3

式を書き換えます。

$x^{3} + 3 x + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{3}$

ステップ 4.9

簡約します。

$x^{3} + 3 x + 3 \cdot x \cdot {(\frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{3}$

ステップ 4.10

積の法則を $\frac{1}{x}$ に当てはめます。

$x^{3} + 3 x + 3 x \cdot \frac{1^{2}}{x^{2}} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{3}$

ステップ 4.11

1のすべての数の累乗は1です。

$x^{3} + 3 x + 3 x \cdot \frac{1}{x^{2}} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{3}$

ステップ 4.12

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.12.1

$x$ を $3 x$ で因数分解します。

$x^{3} + 3 x + x \cdot 3 \cdot \frac{1}{x^{2}} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{3}$

ステップ 4.12.2

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$x^{3} + 3 x + x \cdot 3 \cdot \frac{1}{x \cdot x} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{3}$

ステップ 4.12.3

共通因数を約分します。

$x^{3} + 3 x + x \cdot 3 \cdot \frac{1}{x \cdot x} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{3}$

ステップ 4.12.4

式を書き換えます。

$x^{3} + 3 x + 3 \cdot \frac{1}{x} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{3}$

ステップ 4.13

$3$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$x^{3} + 3 x + \frac{3}{x} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{3}$

ステップ 4.14

${(x)}^{0}$ に $1$ をかけます。

$x^{3} + 3 x + \frac{3}{x} + {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{3}$

ステップ 4.15

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$x^{3} + 3 x + \frac{3}{x} + 1 \cdot {(\frac{1}{x})}^{3}$

ステップ 4.16

${(\frac{1}{x})}^{3}$ に $1$ をかけます。

$x^{3} + 3 x + \frac{3}{x} + {(\frac{1}{x})}^{3}$

ステップ 4.17

積の法則を $\frac{1}{x}$ に当てはめます。

$x^{3} + 3 x + \frac{3}{x} + \frac{1^{3}}{x^{3}}$

ステップ 4.18

1のすべての数の累乗は1です。

$x^{3} + 3 x + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^{3}}$

代数 例

代数例