代数例

$144 x^{2} + 144 y^{2} + 72 x + 192 y + 37 = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $37$ を引きます。

$144 x^{2} + 144 y^{2} + 72 x + 192 y = - 37$

ステップ 2

方程式の両辺を $144$ で割ります。

$x^{2} + y^{2} + \frac{x}{2} + \frac{4 y}{3} = - \frac{37}{144}$

ステップ 3

$x^{2} + \frac{x}{2}$ の平方完成。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 1$

$b = \frac{1}{2}$

$c = 0$

ステップ 3.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 3.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{\frac{1}{2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.3.2.2

$1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.3.2.2.2

式を書き換えます。

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 3.3.2.3

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.3.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$d = \frac{1}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.3.2.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$d = \frac{1}{4}$

ステップ 3.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 3.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1.1

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$e = 0 - \frac{\frac{1^{2}}{2^{2}}}{4 \cdot 1}$

ステップ 3.4.2.1.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$e = 0 - \frac{\frac{1}{2^{2}}}{4 \cdot 1}$

ステップ 3.4.2.1.1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{\frac{1}{4}}{4 \cdot 1}$

ステップ 3.4.2.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$e = 0 - \frac{\frac{1}{4}}{4}$

ステップ 3.4.2.1.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$e = 0 - (\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4})$

ステップ 3.4.2.1.4

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.4.1

$\frac{1}{4}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 4}$

ステップ 3.4.2.1.4.2

$4$ に $4$ をかけます。

$e = 0 - \frac{1}{16}$

ステップ 3.4.2.2

$0$ から $\frac{1}{16}$ を引きます。

$e = - \frac{1}{16}$

ステップ 3.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 ${(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16}$ に代入します。

${(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16}$

ステップ 4

${(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16}$ を方程式 $x^{2} + y^{2} + \frac{x}{2} + \frac{4 y}{3} = - \frac{37}{144}$ の中の $x^{2} + \frac{x}{2}$ に代入します。

${(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16} + y^{2} + \frac{4 y}{3} = - \frac{37}{144}$

ステップ 5

両辺に $\frac{1}{16}$ を加えて、 $- \frac{1}{16}$ を方程式の右辺に移動させます。

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + y^{2} + \frac{4 y}{3} = - \frac{37}{144} + \frac{1}{16}$

ステップ 6

$y^{2} + \frac{4 y}{3}$ の平方完成。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 1$

$b = \frac{4}{3}$

$c = 0$

ステップ 6.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 6.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{\frac{4}{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$d = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.3.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$d = \frac{2 (2)}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.3.2.2.2

$2$ を $2 \cdot 1$ で因数分解します。

$d = \frac{2 (2)}{3} \cdot \frac{1}{2 (1)}$

ステップ 6.3.2.2.3

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot 2}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.3.2.2.4

式を書き換えます。

$d = \frac{2}{3}$

ステップ 6.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(\frac{4}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 6.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.1.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.1.1.1

積の法則を $\frac{4}{3}$ に当てはめます。

$e = 0 - \frac{\frac{4^{2}}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

ステップ 6.4.2.1.1.2

$4$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{\frac{16}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

ステップ 6.4.2.1.1.3

$3$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{\frac{16}{9}}{4 \cdot 1}$

ステップ 6.4.2.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$e = 0 - \frac{\frac{16}{9}}{4}$

ステップ 6.4.2.1.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$e = 0 - (\frac{16}{9} \cdot \frac{1}{4})$

ステップ 6.4.2.1.4

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.1.4.1

$4$ を $16$ で因数分解します。

$e = 0 - (\frac{4 (4)}{9} \cdot \frac{1}{4})$

ステップ 6.4.2.1.4.2

共通因数を約分します。

$e = 0 - (\frac{4 \cdot 4}{9} \cdot \frac{1}{4})$

ステップ 6.4.2.1.4.3

式を書き換えます。

$e = 0 - \frac{4}{9}$

ステップ 6.4.2.2

$0$ から $\frac{4}{9}$ を引きます。

$e = - \frac{4}{9}$

ステップ 6.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 ${(y + \frac{2}{3})}^{2} - \frac{4}{9}$ に代入します。

${(y + \frac{2}{3})}^{2} - \frac{4}{9}$

ステップ 7

${(y + \frac{2}{3})}^{2} - \frac{4}{9}$ を方程式 $x^{2} + y^{2} + \frac{x}{2} + \frac{4 y}{3} = - \frac{37}{144}$ の中の $y^{2} + \frac{4 y}{3}$ に代入します。

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{2}{3})}^{2} - \frac{4}{9} = - \frac{37}{144} + \frac{1}{16}$

ステップ 8

両辺に $\frac{4}{9}$ を加えて、 $- \frac{4}{9}$ を方程式の右辺に移動させます。

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{2}{3})}^{2} = - \frac{37}{144} + \frac{1}{16} + \frac{4}{9}$

ステップ 9

$- \frac{37}{144} + \frac{1}{16} + \frac{4}{9}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$\frac{1}{16}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{2}{3})}^{2} = - \frac{37}{144} + \frac{1}{16} \cdot \frac{9}{9} + \frac{4}{9}$

ステップ 9.1.2

$\frac{1}{16}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{2}{3})}^{2} = - \frac{37}{144} + \frac{9}{16 \cdot 9} + \frac{4}{9}$

ステップ 9.1.3

$\frac{4}{9}$ に $\frac{16}{16}$ をかけます。

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{2}{3})}^{2} = - \frac{37}{144} + \frac{9}{16 \cdot 9} + \frac{4}{9} \cdot \frac{16}{16}$

ステップ 9.1.4

$\frac{4}{9}$ に $\frac{16}{16}$ をかけます。

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{2}{3})}^{2} = - \frac{37}{144} + \frac{9}{16 \cdot 9} + \frac{4 \cdot 16}{9 \cdot 16}$

ステップ 9.1.5

$16 \cdot 9$ の因数を並べ替えます。

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{2}{3})}^{2} = - \frac{37}{144} + \frac{9}{9 \cdot 16} + \frac{4 \cdot 16}{9 \cdot 16}$

ステップ 9.1.6

$9$ に $16$ をかけます。

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{2}{3})}^{2} = - \frac{37}{144} + \frac{9}{144} + \frac{4 \cdot 16}{9 \cdot 16}$

ステップ 9.1.7

$9$ に $16$ をかけます。

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{2}{3})}^{2} = - \frac{37}{144} + \frac{9}{144} + \frac{4 \cdot 16}{144}$

ステップ 9.2

公分母の分子をまとめます。

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{2}{3})}^{2} = \frac{- 37 + 9 + 4 \cdot 16}{144}$

ステップ 9.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

$4$ に $16$ をかけます。

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{2}{3})}^{2} = \frac{- 37 + 9 + 64}{144}$

ステップ 9.3.2

$- 37$ と $9$ をたし算します。

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{2}{3})}^{2} = \frac{- 28 + 64}{144}$

ステップ 9.3.3

$- 28$ と $64$ をたし算します。

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{2}{3})}^{2} = \frac{36}{144}$

ステップ 9.4

$36$ と $144$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.1

$36$ を $36$ で因数分解します。

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{2}{3})}^{2} = \frac{36 (1)}{144}$

ステップ 9.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.2.1

$36$ を $144$ で因数分解します。

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{2}{3})}^{2} = \frac{36 \cdot 1}{36 \cdot 4}$

ステップ 9.4.2.2

共通因数を約分します。

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{2}{3})}^{2} = \frac{36 \cdot 1}{36 \cdot 4}$

ステップ 9.4.2.3

式を書き換えます。

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{2}{3})}^{2} = \frac{1}{4}$

代数 例

代数例