代数例

$x^{4} + 41 x^{2} + 400$

ステップ 1

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

${(x^{2})}^{2} + 41 x^{2} + 400$

ステップ 2

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$u^{2} + 41 u + 400$

ステップ 3

たすき掛けを利用して $u^{2} + 41 u + 400$ を因数分解します。

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ステップ 3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $400$ で、その和が $41$ です。

$16, 25$

ステップ 3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u + 16) (u + 25)$

ステップ 4

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$(x^{2} + 16) (x^{2} + 25)$

ステップ 5

複素数を因数分解します。

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ステップ 5.1

多項式 $x^{2} + 16$ の定数に $- i^{2}$ をかけます。ここで $i^{2}$ は $- 1$ と等しくなります。

$(x^{2} - 16 i^{2}) (x^{2} + 25)$

ステップ 5.2

多項式 $x^{2} + 25$ の定数に $- i^{2}$ をかけます。ここで $i^{2}$ は $- 1$ と等しくなります。

$(x^{2} - 16 i^{2}) (x^{2} - 25 i^{2})$

ステップ 5.3

$16 i^{2}$ を ${(4 i)}^{2}$ に書き換えます。

$(x^{2} - {(4 i)}^{2}) (x^{2} - 25 i^{2})$

ステップ 5.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - i^{2} = (a + i) (a - i)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $i = 4 i$ です。

$(x + 4 i) (x - (4 i)) (x^{2} - 25 i^{2})$

ステップ 5.5

$4$ に $- 1$ をかけます。

$(x + 4 i) (x - 4 i) (x^{2} - 25 i^{2})$

ステップ 5.6

$25 i^{2}$ を ${(5 i)}^{2}$ に書き換えます。

$(x + 4 i) (x - 4 i) (x^{2} - {(5 i)}^{2})$

ステップ 5.7

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - i^{2} = (a + i) (a - i)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $i = 5 i$ です。

$(x + 4 i) (x - 4 i) ((x + 5 i) (x - (5 i)))$

ステップ 5.8

因数分解。

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ステップ 5.8.1

$5$ に $- 1$ をかけます。

$(x + 4 i) (x - 4 i) ((x + 5 i) (x - 5 i))$

ステップ 5.8.2

不要な括弧を削除します。

$(x + 4 i) (x - 4 i) (x + 5 i) (x - 5 i)$

代数 例

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