代数例

$x^{4} + 6 x^{3} - 16 x^{2} - 54 x + 63$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 9, \pm 21, \pm 63$

$q = \pm 1$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 9, \pm 21, \pm 63$

ステップ 3

可能な根を多項式にそれぞれ代入し、実際の根を求めます。簡約し、値が $0$ か、つまり根であるか確認します。

${(1)}^{4} + 6 {(1)}^{3} - 16 {(1)}^{2} - 54 \cdot 1 + 63$

ステップ 4

式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しくなり、 $x = 1$ は多項式の根です。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + 6 {(1)}^{3} - 16 {(1)}^{2} - 54 \cdot 1 + 63$

ステップ 4.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + 6 \cdot 1 - 16 {(1)}^{2} - 54 \cdot 1 + 63$

ステップ 4.1.3

$6$ に $1$ をかけます。

$1 + 6 - 16 {(1)}^{2} - 54 \cdot 1 + 63$

ステップ 4.1.4

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + 6 - 16 \cdot 1 - 54 \cdot 1 + 63$

ステップ 4.1.5

$- 16$ に $1$ をかけます。

$1 + 6 - 16 - 54 \cdot 1 + 63$

ステップ 4.1.6

$- 54$ に $1$ をかけます。

$1 + 6 - 16 - 54 + 63$

ステップ 4.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.2.1

$1$ と $6$ をたし算します。

$7 - 16 - 54 + 63$

ステップ 4.2.2

$7$ から $16$ を引きます。

$- 9 - 54 + 63$

ステップ 4.2.3

$- 9$ から $54$ を引きます。

$- 63 + 63$

ステップ 4.2.4

$- 63$ と $63$ をたし算します。

$0$

ステップ 5

$1$ は既知の根なので、多項式を $x - 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{4} + 6 x^{3} - 16 x^{2} - 54 x + 63}{x - 1}$

ステップ 6

次に、残りの多項式の根を求めます。多項式の次数は $1$ で約分しています。

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ステップ 6.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$1$	$1$	$6$	$- 16$	$- 54$	$63$

ステップ 6.2

被除数 $(1)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$1$	$1$	$6$	$- 16$	$- 54$	$63$

	$1$

ステップ 6.3

結果 $(1)$ の最新の項目に除数 $(1)$ を掛け、 $(1)$ の結果を被除数 $(6)$ の隣の項の下に置きます。

$1$	$1$	$6$	$- 16$	$- 54$	$63$
		$1$
	$1$

ステップ 6.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$1$	$1$	$6$	$- 16$	$- 54$	$63$
		$1$
	$1$	$7$

ステップ 6.5

結果 $(7)$ の最新の項目に除数 $(1)$ を掛け、 $(7)$ の結果を被除数 $(- 16)$ の隣の項の下に置きます。

$1$	$1$	$6$	$- 16$	$- 54$	$63$
		$1$	$7$
	$1$	$7$

ステップ 6.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$1$	$1$	$6$	$- 16$	$- 54$	$63$
		$1$	$7$
	$1$	$7$	$- 9$

ステップ 6.7

結果 $(- 9)$ の最新の項目に除数 $(1)$ を掛け、 $(- 9)$ の結果を被除数 $(- 54)$ の隣の項の下に置きます。

$1$	$1$	$6$	$- 16$	$- 54$	$63$
		$1$	$7$	$- 9$
	$1$	$7$	$- 9$

ステップ 6.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$1$	$1$	$6$	$- 16$	$- 54$	$63$
		$1$	$7$	$- 9$
	$1$	$7$	$- 9$	$- 63$

ステップ 6.9

結果 $(- 63)$ の最新の項目に除数 $(1)$ を掛け、 $(- 63)$ の結果を被除数 $(63)$ の隣の項の下に置きます。

$1$	$1$	$6$	$- 16$	$- 54$	$63$
		$1$	$7$	$- 9$	$- 63$
	$1$	$7$	$- 9$	$- 63$

ステップ 6.10

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$1$	$1$	$6$	$- 16$	$- 54$	$63$
		$1$	$7$	$- 9$	$- 63$
	$1$	$7$	$- 9$	$- 63$	$0$

ステップ 6.11

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$1 x^{3} + 7 x^{2} + (- 9) x - 63$

ステップ 6.12

商の多項式を簡約します。

$x^{3} + 7 x^{2} - 9 x - 63$

ステップ 7

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 7.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(x - 1) (x^{3} + 7 x^{2}) - 9 x - 63$

ステップ 7.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$(x - 1) + x^{2} (x + 7) - 9 (x + 7)$

$(x - 1) x^{2} (x + 7) - 9 (x + 7)$

ステップ 8

最大公約数 $x + 7$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x - 1) (x + 7) (x^{2} - 9)$

ステップ 9

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$(x - 1) (x + 7) (x^{2} - 3^{2})$

ステップ 10

因数分解。

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ステップ 10.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 3$ です。

$(x - 1) + (x + 7) ((x + 3) (x - 3))$

ステップ 10.2

不要な括弧を削除します。

$(x - 1) + (x + 7) (x + 3) (x - 3)$

$(x - 1) (x + 7) (x + 3) (x - 3)$

ステップ 11

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 11.1

項を再分類します。

$6 x^{3} - 54 x + x^{4} - 16 x^{2} + 63 = 0$

ステップ 11.2

$6 x$ を $6 x^{3} - 54 x$ で因数分解します。

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ステップ 11.2.1

$6 x$ を $6 x^{3}$ で因数分解します。

$6 x (x^{2}) - 54 x + x^{4} - 16 x^{2} + 63 = 0$

ステップ 11.2.2

$6 x$ を $- 54 x$ で因数分解します。

$6 x (x^{2}) + 6 x (- 9) + x^{4} - 16 x^{2} + 63 = 0$

ステップ 11.2.3

$6 x$ を $6 x (x^{2}) + 6 x (- 9)$ で因数分解します。

$6 x (x^{2} - 9) + x^{4} - 16 x^{2} + 63 = 0$

ステップ 11.3

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$6 x (x^{2} - 3^{2}) + x^{4} - 16 x^{2} + 63 = 0$

ステップ 11.4

因数分解。

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ステップ 11.4.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 3$ です。

$6 x ((x + 3) (x - 3)) + x^{4} - 16 x^{2} + 63 = 0$

ステップ 11.4.2

不要な括弧を削除します。

$6 x (x + 3) (x - 3) + x^{4} - 16 x^{2} + 63 = 0$

ステップ 11.5

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$6 x (x + 3) (x - 3) + {(x^{2})}^{2} - 16 x^{2} + 63 = 0$

ステップ 11.6

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$6 x (x + 3) (x - 3) + u^{2} - 16 u + 63 = 0$

ステップ 11.7

たすき掛けを利用して $u^{2} - 16 u + 63$ を因数分解します。

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ステップ 11.7.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $63$ で、その和が $- 16$ です。

$- 9, - 7$

ステップ 11.7.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$6 x (x + 3) (x - 3) + (u - 9) (u - 7) = 0$

ステップ 11.8

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$6 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 9) (x^{2} - 7) = 0$

ステップ 11.9

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$6 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 3^{2}) (x^{2} - 7) = 0$

ステップ 11.10

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 3$ です。

$6 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 7) = 0$

ステップ 11.11

$(x + 3) (x - 3)$ を $6 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 7)$ で因数分解します。

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ステップ 11.11.1

$(x + 3) (x - 3)$ を $6 x (x + 3) (x - 3)$ で因数分解します。

$(x + 3) (x - 3) (6 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 7) = 0$

ステップ 11.11.2

$(x + 3) (x - 3)$ を $(x + 3) (x - 3) (6 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 7)$ で因数分解します。

$(x + 3) (x - 3) (6 x + x^{2} - 7) = 0$

ステップ 11.12

$u = x$ とします。 $u$ を $x$ に代入します。

$(x + 3) (x - 3) (6 u + u^{2} - 7) = 0$

ステップ 11.13

たすき掛けを利用して $6 u + u^{2} - 7$ を因数分解します。

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ステップ 11.13.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 7$ で、その和が $6$ です。

$- 1, 7$

ステップ 11.13.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x + 3) (x - 3) ((u - 1) (u + 7)) = 0$

ステップ 11.14

因数分解。

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ステップ 11.14.1

$u$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$(x + 3) (x - 3) ((x - 1) (x + 7)) = 0$

ステップ 11.14.2

不要な括弧を削除します。

$(x + 3) (x - 3) (x - 1) (x + 7) = 0$

ステップ 12

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 7 = 0$

ステップ 13

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 13.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 13.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 14

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 14.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 14.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 15

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 15.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 15.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 16

$x + 7$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 16.1

$x + 7$ が $0$ に等しいとします。

$x + 7 = 0$

ステップ 16.2

方程式の両辺から $7$ を引きます。

$x = - 7$

ステップ 17

最終解は $(x + 3) (x - 3) (x - 1) (x + 7) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 3, 3, 1, - 7$

ステップ 18

代数 例

代数例