代数例

$x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 2$

ステップ 3

可能な根を多項式にそれぞれ代入し、実際の根を求めます。簡約し、値が $0$ か、つまり根であるか確認します。

${(1)}^{5} - 4 {(1)}^{4} + 4 {(1)}^{3} + 2 {(1)}^{2} - 5 \cdot 1 + 2$

ステップ 4

式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しくなり、 $x = 1$ は多項式の根です。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$1 - 4 {(1)}^{4} + 4 {(1)}^{3} + 2 {(1)}^{2} - 5 \cdot 1 + 2$

ステップ 4.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$1 - 4 \cdot 1 + 4 {(1)}^{3} + 2 {(1)}^{2} - 5 \cdot 1 + 2$

ステップ 4.1.3

$- 4$ に $1$ をかけます。

$1 - 4 + 4 {(1)}^{3} + 2 {(1)}^{2} - 5 \cdot 1 + 2$

ステップ 4.1.4

1のすべての数の累乗は1です。

$1 - 4 + 4 \cdot 1 + 2 {(1)}^{2} - 5 \cdot 1 + 2$

ステップ 4.1.5

$4$ に $1$ をかけます。

$1 - 4 + 4 + 2 {(1)}^{2} - 5 \cdot 1 + 2$

ステップ 4.1.6

1のすべての数の累乗は1です。

$1 - 4 + 4 + 2 \cdot 1 - 5 \cdot 1 + 2$

ステップ 4.1.7

$2$ に $1$ をかけます。

$1 - 4 + 4 + 2 - 5 \cdot 1 + 2$

ステップ 4.1.8

$- 5$ に $1$ をかけます。

$1 - 4 + 4 + 2 - 5 + 2$

ステップ 4.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.2.1

$1$ から $4$ を引きます。

$- 3 + 4 + 2 - 5 + 2$

ステップ 4.2.2

$- 3$ と $4$ をたし算します。

$1 + 2 - 5 + 2$

ステップ 4.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$3 - 5 + 2$

ステップ 4.2.4

$3$ から $5$ を引きます。

$- 2 + 2$

ステップ 4.2.5

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$0$

ステップ 5

$1$ は既知の根なので、多項式を $x - 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{2} - 5 x + 2}{x - 1}$

ステップ 6

次に、残りの多項式の根を求めます。多項式の次数は $1$ で約分しています。

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ステップ 6.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$1$	$1$	$- 4$	$4$	$2$	$- 5$	$2$

ステップ 6.2

被除数 $(1)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$1$	$1$	$- 4$	$4$	$2$	$- 5$	$2$

	$1$

ステップ 6.3

結果 $(1)$ の最新の項目に除数 $(1)$ を掛け、 $(1)$ の結果を被除数 $(- 4)$ の隣の項の下に置きます。

$1$	$1$	$- 4$	$4$	$2$	$- 5$	$2$
		$1$
	$1$

ステップ 6.4