代数例

$x^{3} = - i$

ステップ 1

$u$ を $x^{3}$ に代入します。

$u^{3} = - i$

ステップ 2

複素数の三角法の式です。ここで、 $| z |$ は絶対値、 $θ$ は複素数平面上にできる角です。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

ステップ 3

複素数の係数は、複素数平面上の原点からの距離です。

$z = a + b i$ ならば $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 4

$a = 0$ と $b = - 1$ の実際の値を代入します。

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2}}$

ステップ 5

$| z |$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{1}$

ステップ 5.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$| z | = 1$

ステップ 6

複素平面上の点の角は、複素部分の実部分に対する逆正切です。

$θ = \arctan (\frac{- 1}{0})$

ステップ 7

偏角が未定義で $b$ が負なので、複素平面上の点の角は $\frac{3 π}{2}$ です。

$θ = \frac{3 π}{2}$

ステップ 8

$θ = \frac{3 π}{2}$ と $| z | = 1$ の値を代入します。

$\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 9

方程式の右辺を三角公式で置き換えます。

$u^{3} = \cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 10

ドモアブルの定理を利用して方程式の $u$ を求めます。

$r^{3} (c o s (3 θ) + i s i n (3 θ)) = - i = \cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 11

三角形の係数を $r^{3}$ と等しくし、 $r$ の値を求めます。

$r^{3} = 1$

ステップ 12

$r$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$r^{3} - 1 = 0$

ステップ 12.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$r^{3} - 1^{3} = 0$

ステップ 12.2.2

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = r$ であり、 $b = 1$ です。

$(r - 1) (r^{2} + r \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

ステップ 12.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.3.1

$r$ に $1$ をかけます。

$(r - 1) (r^{2} + r + 1^{2}) = 0$

ステップ 12.2.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

$(r - 1) (r^{2} + r + 1) = 0$

ステップ 12.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$r - 1 = 0$

$r^{2} + r + 1 = 0$

ステップ 12.4

$r - 1$ を $0$ に等しくし、 $r$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.4.1

$r - 1$ が $0$ に等しいとします。

$r - 1 = 0$

ステップ 12.4.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$r = 1$

ステップ 12.5

$r^{2} + r + 1$ を $0$ に等しくし、 $r$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.1

$r^{2} + r + 1$ が $0$ に等しいとします。

$r^{2} + r + 1 = 0$

ステップ 12.5.2

$r$ について $r^{2} + r + 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 12.5.2.2

$a = 1$ 、 $b = 1$ 、および $c = 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $r$ の値を求めます。

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 12.5.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.2.3.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 12.5.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 12.5.2.3.1.2.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 12.5.2.3.1.3

$1$ から $4$ を引きます。

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 12.5.2.3.1.4

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 12.5.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (3)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ に書き換えます。

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 12.5.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 12.5.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 12.5.2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.2.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.2.4.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 12.5.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.2.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 12.5.2.4.1.2.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 12.5.2.4.1.3

$1$ から $4$ を引きます。

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 12.5.2.4.1.4

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 12.5.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (3)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ に書き換えます。

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 12.5.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 12.5.2.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 12.5.2.4.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$r = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 12.5.2.4.4

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$r = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 12.5.2.4.5

$- 1$ を $i \sqrt{3}$ で因数分解します。

$r = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 12.5.2.4.6

$- 1$ を $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ で因数分解します。

$r = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 12.5.2.4.7

分数の前に負数を移動させます。

$r = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 12.5.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.2.5.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 12.5.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.2.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 12.5.2.5.1.2.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 12.5.2.5.1.3

$1$ から $4$ を引きます。

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 12.5.2.5.1.4

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 12.5.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (3)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ に書き換えます。

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 12.5.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 12.5.2.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 12.5.2.5.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$r = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 12.5.2.5.4

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$r = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 12.5.2.5.5

$- 1$ を $- i \sqrt{3}$ で因数分解します。

$r = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 12.5.2.5.6

$- 1$ を $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ で因数分解します。

$r = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 12.5.2.5.7

分数の前に負数を移動させます。

$r = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 12.5.2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$r = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 12.6

最終解は $(r - 1) (r^{2} + r + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$r = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 13

$r$ の近似値を求めます。

$r = 1$

ステップ 14

$θ$ の可能な値を求めます。

$c o s (3 θ) = c o s (2 π n)$ と $s i n (3 θ) = s i n (2 π n)$

ステップ 15

$θ$ のすべての可能な値を求めることで方程式 $3 θ = 2 π n$ を導きます。

$3 θ = 2 π n$

ステップ 16

$r = 0$ の $θ$ の値を求めます。

$3 θ = 2 π (0)$

ステップ 17

$θ$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1

$2 π \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1.1

$0$ に $2$ をかけます。

$3 θ = 0 π$

ステップ 17.1.2

$0$ に $π$ をかけます。

$3 θ = 0$

ステップ 17.2

$3 θ = 0$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.2.1

$3 θ = 0$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 θ}{3} = \frac{0}{3}$

ステップ 17.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 θ}{3} = \frac{0}{3}$

ステップ 17.2.2.1.2

$θ$ を $1$ で割ります。

$θ = \frac{0}{3}$

ステップ 17.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.2.3.1

$0$ を $3$ で割ります。

$θ = 0$

ステップ 18

$θ$ 、および $r$ の値を利用して、方程式 $u^{3} = - i$ の解を求めます。

$u_{0} = 1 (\cos (0) + i \sin (0))$

ステップ 19

解を直交形式に変換します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1

$\cos (0) + i \sin (0)$ に $1$ をかけます。

$u_{0} = \cos (0) + i \sin (0)$

ステップ 19.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$u_{0} = 1 + i \sin (0)$

ステップ 19.2.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$u_{0} = 1 + i \cdot 0$

ステップ 19.2.3

$i$ に $0$ をかけます。

$u_{0} = 1 + 0$

ステップ 19.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$u_{0} = 1$

ステップ 20

$x^{3}$ を $u$ に代入し、右方移動し他後に $z$ の値を計算します。

$z_{0} = 0 + 1$

ステップ 21

$r = 1$ の $θ$ の値を求めます。

$3 θ = 2 π (1)$

ステップ 22

$θ$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.1

$2$ に $1$ をかけます。

$3 θ = 2 π$

ステップ 22.2

$3 θ = 2 π$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.2.1

$3 θ = 2 π$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 θ}{3} = \frac{2 π}{3}$

ステップ 22.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 θ}{3} = \frac{2 π}{3}$

ステップ 22.2.2.1.2

$θ$ を $1$ で割ります。

$θ = \frac{2 π}{3}$

ステップ 23

$θ$ 、および $r$ の値を利用して、方程式 $u^{3} = - i$ の解を求めます。

$u_{1} = 1 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

ステップ 24

解を直交形式に変換します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.1

$\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})$ に $1$ をかけます。

$u_{1} = \cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})$

ステップ 24.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.2.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$u_{1} = - \cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})$

ステップ 24.2.2

$\cos (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$u_{1} = - \frac{1}{2} + i \sin (\frac{2 π}{3})$

ステップ 24.2.3

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$u_{1} = - \frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3})$

ステップ 24.2.4

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$u_{1} = - \frac{1}{2} + i (\frac{\sqrt{3}}{2})$

ステップ 24.2.5

$i$ と $\frac{\sqrt{3}}{2}$ をまとめます。

$u_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 25

$x^{3}$ を $u$ に代入し、右方移動し他後に $z$ の値を計算します。

$z_{1} = 0 - \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 26

$r = 2$ の $θ$ の値を求めます。

$3 θ = 2 π (2)$

ステップ 27

$θ$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 27.1

$2$ に $2$ をかけます。

$3 θ = 4 π$

ステップ 27.2

$3 θ = 4 π$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 27.2.1

$3 θ = 4 π$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 θ}{3} = \frac{4 π}{3}$

ステップ 27.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 27.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 27.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 θ}{3} = \frac{4 π}{3}$

ステップ 27.2.2.1.2

$θ$ を $1$ で割ります。

$θ = \frac{4 π}{3}$

ステップ 28

$θ$ 、および $r$ の値を利用して、方程式 $u^{3} = - i$ の解を求めます。

$u_{2} = 1 (\cos (\frac{4 π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3}))$

ステップ 29

解を直交形式に変換します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 29.1

$\cos (\frac{4 π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3})$ に $1$ をかけます。

$u_{2} = \cos (\frac{4 π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3})$

ステップ 29.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 29.2.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$u_{2} = - \cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3})$

ステップ 29.2.2

$\cos (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$u_{2} = - \frac{1}{2} + i \sin (\frac{4 π}{3})$

ステップ 29.2.3

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$u_{2} = - \frac{1}{2} + i (- \sin (\frac{π}{3}))$

ステップ 29.2.4

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$u_{2} = - \frac{1}{2} + i (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

ステップ 29.2.5

$i$ と $\frac{\sqrt{3}}{2}$ をまとめます。

$u_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 30

$x^{3}$ を $u$ に代入し、右方移動し他後に $z$ の値を計算します。

$z_{2} = 0 - \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 31

$u^{3} = - i$ の複素解です。

$z_{0} = 1$

$z_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

$z_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

代数 例

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