代数例

$\frac{3}{x + 2} + \frac{2}{x} = \frac{4 x - 4}{x^{2} - 4}$

ステップ 1

方程式の両辺から $\frac{4 x - 4}{x^{2} - 4}$ を引きます。

$\frac{3}{x + 2} + \frac{2}{x} - \frac{4 x - 4}{x^{2} - 4} = 0$

ステップ 2

$\frac{3}{x + 2} + \frac{2}{x} - \frac{4 x - 4}{x^{2} - 4}$ を簡約します。

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ステップ 2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1

$4$ を $4 x - 4$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.1.1

$4$ を $4 x$ で因数分解します。

$\frac{3}{x + 2} + \frac{2}{x} - \frac{4 (x) - 4}{x^{2} - 4} = 0$

ステップ 2.1.1.2

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$\frac{3}{x + 2} + \frac{2}{x} - \frac{4 (x) + 4 (- 1)}{x^{2} - 4} = 0$

ステップ 2.1.1.3

$4$ を $4 (x) + 4 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{3}{x + 2} + \frac{2}{x} - \frac{4 (x - 1)}{x^{2} - 4} = 0$

ステップ 2.1.2

分母を簡約します。

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ステップ 2.1.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{3}{x + 2} + \frac{2}{x} - \frac{4 (x - 1)}{x^{2} - 2^{2}} = 0$

ステップ 2.1.2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$\frac{3}{x + 2} + \frac{2}{x} - \frac{4 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

ステップ 2.2

$\frac{3}{x + 2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$\frac{3}{x + 2} \cdot \frac{x}{x} + \frac{2}{x} - \frac{4 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

ステップ 2.3

$\frac{2}{x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + 2}{x + 2}$ を掛けます。

$\frac{3}{x + 2} \cdot \frac{x}{x} + \frac{2}{x} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{4 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

ステップ 2.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x + 2) x$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 2.4.1

$\frac{3}{x + 2}$ に $\frac{x}{x}$ をかけます。

$\frac{3 x}{(x + 2) x} + \frac{2}{x} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{4 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

ステップ 2.4.2

$\frac{2}{x}$ に $\frac{x + 2}{x + 2}$ をかけます。

$\frac{3 x}{(x + 2) x} + \frac{2 (x + 2)}{x (x + 2)} - \frac{4 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

ステップ 2.4.3

$(x + 2) x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{3 x}{x (x + 2)} + \frac{2 (x + 2)}{x (x + 2)} - \frac{4 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

ステップ 2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3 x + 2 (x + 2)}{x (x + 2)} - \frac{4 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

ステップ 2.6

分子を簡約します。

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ステップ 2.6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{3 x + 2 x + 2 \cdot 2}{x (x + 2)} - \frac{4 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

ステップ 2.6.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{3 x + 2 x + 4}{x (x + 2)} - \frac{4 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

ステップ 2.6.3

$3 x$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{5 x + 4}{x (x + 2)} - \frac{4 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

ステップ 2.7

$\frac{5 x + 4}{x (x + 2)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - 2}{x - 2}$ を掛けます。

$\frac{5 x + 4}{x (x + 2)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{4 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

ステップ 2.8

$- \frac{4 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$\frac{5 x + 4}{x (x + 2)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{4 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x}{x} = 0$

ステップ 2.9

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $x (x + 2) (x - 2)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 2.9.1

$\frac{5 x + 4}{x (x + 2)}$ に $\frac{x - 2}{x - 2}$ をかけます。

$\frac{(5 x + 4) (x - 2)}{x (x + 2) (x - 2)} - \frac{4 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x}{x} = 0$

ステップ 2.9.2

$\frac{4 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)}$ に $\frac{x}{x}$ をかけます。

$\frac{(5 x + 4) (x - 2)}{x (x + 2) (x - 2)} - \frac{4 (x - 1) x}{(x + 2) (x - 2) x} = 0$

ステップ 2.9.3

$(x + 2) (x - 2) x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{(5 x + 4) (x - 2)}{x (x + 2) (x - 2)} - \frac{4 (x - 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

ステップ 2.10

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(5 x + 4) (x - 2) - 4 (x - 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

ステップ 2.11

分子を簡約します。

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ステップ 2.11.1

分配法則（FOIL法）を使って $(5 x + 4) (x - 2)$ を展開します。

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ステップ 2.11.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{5 x (x - 2) + 4 (x - 2) - 4 (x - 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

ステップ 2.11.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{5 x \cdot x + 5 x \cdot - 2 + 4 (x - 2) - 4 (x - 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

ステップ 2.11.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{5 x \cdot x + 5 x \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2 - 4 (x - 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

ステップ 2.11.2

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 2.11.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.11.2.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 2.11.2.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{5 (x \cdot x) + 5 x \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2 - 4 (x - 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

ステップ 2.11.2.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{5 x^{2} + 5 x \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2 - 4 (x - 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

ステップ 2.11.2.1.2

$- 2$ に $5$ をかけます。

$\frac{5 x^{2} - 10 x + 4 x + 4 \cdot - 2 - 4 (x - 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

ステップ 2.11.2.1.3

$4$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{5 x^{2} - 10 x + 4 x - 8 - 4 (x - 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

ステップ 2.11.2.2

$- 10 x$ と $4 x$ をたし算します。

$\frac{5 x^{2} - 6 x - 8 - 4 (x - 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

ステップ 2.11.3

分配則を当てはめます。

$\frac{5 x^{2} - 6 x - 8 + (- 4 x - 4 \cdot - 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

ステップ 2.11.4

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{5 x^{2} - 6 x - 8 + (- 4 x + 4) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

ステップ 2.11.5

分配則を当てはめます。

$\frac{5 x^{2} - 6 x - 8 - 4 x \cdot x + 4 x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

ステップ 2.11.6

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 2.11.6.1

$x$ を移動させます。

$\frac{5 x^{2} - 6 x - 8 - 4 (x \cdot x) + 4 x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

ステップ 2.11.6.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{5 x^{2} - 6 x - 8 - 4 x^{2} + 4 x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

ステップ 2.11.7

$5 x^{2}$ から $4 x^{2}$ を引きます。

$\frac{x^{2} - 6 x - 8 + 4 x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

ステップ 2.11.8

$- 6 x$ と $4 x$ をたし算します。

$\frac{x^{2} - 2 x - 8}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

ステップ 2.11.9

たすき掛けを利用して $x^{2} - 2 x - 8$ を因数分解します。

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ステップ 2.11.9.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 8$ で、その和が $- 2$ です。

$- 4, 2$

ステップ 2.11.9.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{(x - 4) (x + 2)}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

ステップ 2.12

$x + 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.12.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x - 4) (x + 2)}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

ステップ 2.12.2

式を書き換えます。

$\frac{x - 4}{x (x - 2)} = 0$

ステップ 3

$\frac{x - 4}{x (x - 2)}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x (x - 2) = 0$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 4.2

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 4.3

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.3.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 4.3.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 4.4

最終解は $x (x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 2$

ステップ 5

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x = 0, x = 2$

ステップ 6

代数 例

代数例