代数例

$y = \frac{1}{3} x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{1}{3}$

ステップ 1

方程式を頂点形で書き換えます。

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ステップ 1.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.1

$\frac{1}{3}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$y = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4}{3} x + \frac{1}{3}$

ステップ 1.1.2

$x$ と $\frac{4}{3}$ をまとめます。

$y = \frac{x^{2}}{3} - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{1}{3}$

ステップ 1.1.3

$4$ を $x$ の左に移動させます。

$y = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$

ステップ 1.2

$\frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$ の平方完成。

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ステップ 1.2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = \frac{1}{3}$

$b = - \frac{4}{3}$

$c = \frac{1}{3}$

ステップ 1.2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- \frac{4}{3}}{2 (\frac{1}{3})}$

ステップ 1.2.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$d = - \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{3})}$

ステップ 1.2.3.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.2.1

$- \frac{4}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$d = \frac{- 4}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{3})}$

ステップ 1.2.3.2.2.2

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$d = \frac{2 (- 2)}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{3})}$

ステップ 1.2.3.2.2.3

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot - 2}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{3})}$

ステップ 1.2.3.2.2.4

式を書き換えます。

$d = \frac{- 2}{3} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3}}$

ステップ 1.2.3.2.3

$\frac{- 2}{3}$ に $\frac{1}{\frac{1}{3}}$ をかけます。

$d = \frac{- 2}{3 (\frac{1}{3})}$

ステップ 1.2.3.2.4

$3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$d = \frac{- 2}{\frac{3}{3}}$

ステップ 1.2.3.2.5

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.5.1

共通因数を約分します。

$d = \frac{- 2}{\frac{3}{3}}$

ステップ 1.2.3.2.5.2

式を書き換えます。

$d = \frac{- 2}{1}$

ステップ 1.2.3.2.6

$- 2$ を $1$ で割ります。

$d = - 2$

ステップ 1.2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = \frac{1}{3} - \frac{{(- \frac{4}{3})}^{2}}{4 (\frac{1}{3})}$

ステップ 1.2.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{4}{3}$ に当てはめます。

$e = \frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{4}{3})}^{2}}{4 (\frac{1}{3})}$

ステップ 1.2.4.2.1.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$e = \frac{1}{3} - \frac{1 {(\frac{4}{3})}^{2}}{4 (\frac{1}{3})}$

ステップ 1.2.4.2.1.1.3

積の法則を $\frac{4}{3}$ に当てはめます。

$e = \frac{1}{3} - \frac{1 \frac{4^{2}}{3^{2}}}{4 (\frac{1}{3})}$

ステップ 1.2.4.2.1.1.4

$4$ を $2$ 乗します。

$e = \frac{1}{3} - \frac{1 \frac{16}{3^{2}}}{4 (\frac{1}{3})}$

ステップ 1.2.4.2.1.1.5

$3$ を $2$ 乗します。

$e = \frac{1}{3} - \frac{1 (\frac{16}{9})}{4 (\frac{1}{3})}$

ステップ 1.2.4.2.1.1.6

$\frac{16}{9}$ に $1$ をかけます。

$e = \frac{1}{3} - \frac{\frac{16}{9}}{4 (\frac{1}{3})}$

ステップ 1.2.4.2.1.2

$4$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$e = \frac{1}{3} - \frac{\frac{16}{9}}{\frac{4}{3}}$

ステップ 1.2.4.2.1.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$e = \frac{1}{3} - (\frac{16}{9} \cdot \frac{3}{4})$

ステップ 1.2.4.2.1.4

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.4.2.1.4.1

$4$ を $16$ で因数分解します。

$e = \frac{1}{3} - (\frac{4 (4)}{9} \cdot \frac{3}{4})$

ステップ 1.2.4.2.1.4.2

共通因数を約分します。

$e = \frac{1}{3} - (\frac{4 \cdot 4}{9} \cdot \frac{3}{4})$

ステップ 1.2.4.2.1.4.3

式を書き換えます。

$e = \frac{1}{3} - (\frac{4}{9} \cdot 3)$

ステップ 1.2.4.2.1.5

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.4.2.1.5.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$e = \frac{1}{3} - (\frac{4}{3 (3)} \cdot 3)$

ステップ 1.2.4.2.1.5.2

共通因数を約分します。

$e = \frac{1}{3} - (\frac{4}{3 \cdot 3} \cdot 3)$

ステップ 1.2.4.2.1.5.3

式を書き換えます。

$e = \frac{1}{3} - \frac{4}{3}$

ステップ 1.2.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$e = \frac{1 - 4}{3}$

ステップ 1.2.4.2.3

$1$ から $4$ を引きます。

$e = \frac{- 3}{3}$

ステップ 1.2.4.2.4

$- 3$ を $3$ で割ります。

$e = - 1$

ステップ 1.2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $\frac{1}{3} {(x - 2)}^{2} - 1$ に代入します。

$\frac{1}{3} {(x - 2)}^{2} - 1$

ステップ 1.3

$y$ は新しい右辺と等しいとします。

$y = \frac{1}{3} \cdot {(x - 2)}^{2} - 1$

ステップ 2

頂点形、 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = \frac{1}{3}$

$h = 2$

$k = - 1$

ステップ 3

$a$ の値が正なので、放物線は上に開です。

上に開く

ステップ 4

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(2, - 1)$

ステップ 5

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 5.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{3}}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

$4$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{\frac{4}{3}}$

ステップ 5.3.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$1 (\frac{3}{4})$

ステップ 5.3.3

$\frac{3}{4}$ に $1$ をかけます。

$\frac{3}{4}$

ステップ 6

焦点を求めます。

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ステップ 6.1

放物線の焦点は、放物線が上下に開の場合、 $p$ をy座標 $k$ に加えて求められます。

$(h, k + p)$

ステップ 6.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(2, - \frac{1}{4})$

ステップ 7

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$x = 2$

ステップ 8

代数 例

代数例