代数例

$2 - \log_{3} (x + 1)$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = 2 - \log_{3} (y + 1)$

ステップ 2

$y$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式を $2 - \log_{3} (y + 1) = x$ として書き換えます。

$2 - \log_{3} (y + 1) = x$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$- \log_{3} (y + 1) = x - 2$

ステップ 2.3

$- \log_{3} (y + 1) = x - 2$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- \log_{3} (y + 1) = x - 2$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \log_{3} (y + 1)}{- 1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\log_{3} (y + 1)}{1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 2.3.2.2

$\log_{3} (y + 1)$ を $1$ で割ります。

$\log_{3} (y + 1) = \frac{x}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1.1

$\frac{x}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$\log_{3} (y + 1) = - 1 \cdot x + \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 2.3.3.1.2

$- 1 \cdot x$ を $- x$ に書き換えます。

$\log_{3} (y + 1) = - x + \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 2.3.3.1.3

$- 2$ を $- 1$ で割ります。

$\log_{3} (y + 1) = - x + 2$

ステップ 2.4

対数の定義を利用して $\log_{3} (y + 1) = - x + 2$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$3^{- x + 2} = y + 1$

ステップ 2.5

$y$ について解きます。

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ステップ 2.5.1

方程式を $y + 1 = 3^{- x + 2}$ として書き換えます。

$y + 1 = 3^{- x + 2}$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$y = 3^{- x + 2} - 1$

ステップ 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 3^{- x + 2} - 1$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = 3^{- x + 2} - 1$ が $f (x) = 2 - \log_{3} (x + 1)$ の逆か確認します。

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ステップ 4.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 4.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (2 - \log_{3} (x + 1))$ の値を求めます。

$f^{- 1} (2 - \log_{3} (x + 1)) = 3^{- (2 - \log_{3} (x + 1)) + 2} - 1$

ステップ 4.2.3

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1.1

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (2 - \log_{3} (x + 1)) = 3^{- 1 \cdot 2 + \log_{3} (x + 1) + 2} - 1$

ステップ 4.2.3.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f^{- 1} (2 - \log_{3} (x + 1)) = 3^{- 2 + \log_{3} (x + 1) + 2} - 1$

ステップ 4.2.3.1.3

$- - \log_{3} (x + 1)$ を掛けます。

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ステップ 4.2.3.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f^{- 1} (2 - \log_{3} (x + 1)) = 3^{- 2 + 1 \log_{3} (x + 1) + 2} - 1$

ステップ 4.2.3.1.3.2

$\log_{3} (x + 1)$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (2 - \log_{3} (x + 1)) = 3^{- 2 + \log_{3} (x + 1) + 2} - 1$

ステップ 4.2.3.2

$- 2 + \log_{3} (x + 1) + 2$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.2.3.2.1

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$f^{- 1} (2 - \log_{3} (x + 1)) = 3^{0 + \log_{3} (x + 1)} - 1$

ステップ 4.2.3.2.2

$0$ と $\log_{3} (x + 1)$ をたし算します。

$f^{- 1} (2 - \log_{3} (x + 1)) = 3^{\log_{3} (x + 1)} - 1$

ステップ 4.2.3.3

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f^{- 1} (2 - \log_{3} (x + 1)) = x + 1 - 1$

ステップ 4.2.4

$x + 1 - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.2.4.1

$1$ から $1$ を引きます。

$f^{- 1} (2 - \log_{3} (x + 1)) = x + 0$

ステップ 4.2.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (2 - \log_{3} (x + 1)) = x$

ステップ 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 4.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (3^{- x + 2} - 1)$ の値を求めます。

$f (3^{- x + 2} - 1) = 2 - \log_{3} ((3^{- x + 2} - 1) + 1)$

ステップ 4.3.3

$2 - \log_{3} ((3^{- x + 2} - 1) + 1)$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.3.3.1

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$f (3^{- x + 2} - 1) = 2 - \log_{3} (3^{- x + 2} + 0)$

ステップ 4.3.3.2

$3^{- x + 2}$ と $0$ をたし算します。

$f (3^{- x + 2} - 1) = 2 - \log_{3} (3^{- x + 2})$

ステップ 4.3.4

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.4.1

対数の法則を利用して指数の外に $- x + 2$ を移動します。

$f (3^{- x + 2} - 1) = 2 - ((- x + 2) \log_{3} (3))$

ステップ 4.3.4.2

$3$ の対数の底 $3$ は $1$ です。

$f (3^{- x + 2} - 1) = 2 - ((- x + 2) \cdot 1)$

ステップ 4.3.4.3

$- x + 2$ に $1$ をかけます。

$f (3^{- x + 2} - 1) = 2 - (- x + 2)$

ステップ 4.3.4.4

分配則を当てはめます。

$f (3^{- x + 2} - 1) = 2 + x - 1 \cdot 2$

ステップ 4.3.4.5

$- - x$ を掛けます。

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ステップ 4.3.4.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (3^{- x + 2} - 1) = 2 + 1 x - 1 \cdot 2$

ステップ 4.3.4.5.2

$x$ に $1$ をかけます。

$f (3^{- x + 2} - 1) = 2 + x - 1 \cdot 2$

ステップ 4.3.4.6

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f (3^{- x + 2} - 1) = 2 + x - 2$

ステップ 4.3.5

$2 + x - 2$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.3.5.1

$2$ から $2$ を引きます。

$f (3^{- x + 2} - 1) = x + 0$

ステップ 4.3.5.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f (3^{- x + 2} - 1) = x$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = 3^{- x + 2} - 1$ は $f (x) = 2 - \log_{3} (x + 1)$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = 3^{- x + 2} - 1$

代数 例

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