代数例

$f (x) = 7 x^{4} - 58 x^{3} + 60 x^{2} + 250 x + 125$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 25, \pm 125$

$q = \pm 1, \pm 7$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm \frac{1}{7}, \pm 5, \pm \frac{5}{7}, \pm 25, \pm \frac{25}{7}, \pm 125, \pm \frac{125}{7}$

ステップ 3

可能な根を多項式にそれぞれ代入し、実際の根を求めます。簡約し、値が $0$ か、つまり根であるか確認します。

$7 {(- 1)}^{4} - 58 {(- 1)}^{3} + 60 {(- 1)}^{2} + 250 (- 1) + 125$

ステップ 4

式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しくなり、 $x = - 1$ は多項式の根です。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$- 1$ を $4$ 乗します。

$7 \cdot 1 - 58 {(- 1)}^{3} + 60 {(- 1)}^{2} + 250 (- 1) + 125$

ステップ 4.1.2

$7$ に $1$ をかけます。

$7 - 58 {(- 1)}^{3} + 60 {(- 1)}^{2} + 250 (- 1) + 125$

ステップ 4.1.3

$- 1$ を $3$ 乗します。

$7 - 58 \cdot - 1 + 60 {(- 1)}^{2} + 250 (- 1) + 125$

ステップ 4.1.4

$- 58$ に $- 1$ をかけます。

$7 + 58 + 60 {(- 1)}^{2} + 250 (- 1) + 125$

ステップ 4.1.5

$- 1$ を $2$ 乗します。

$7 + 58 + 60 \cdot 1 + 250 (- 1) + 125$

ステップ 4.1.6

$60$ に $1$ をかけます。

$7 + 58 + 60 + 250 (- 1) + 125$

ステップ 4.1.7

$250$ に $- 1$ をかけます。

$7 + 58 + 60 - 250 + 125$

ステップ 4.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.2.1

$7$ と $58$ をたし算します。

$65 + 60 - 250 + 125$

ステップ 4.2.2

$65$ と $60$ をたし算します。

$125 - 250 + 125$

ステップ 4.2.3

$125$ から $250$ を引きます。

$- 125 + 125$

ステップ 4.2.4

$- 125$ と $125$ をたし算します。

$0$

ステップ 5

$- 1$ は既知の根なので、多項式を $x + 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{7 x^{4} - 58 x^{3} + 60 x^{2} + 250 x + 125}{x + 1}$

ステップ 6

次に、残りの多項式の根を求めます。多項式の次数は $1$ で約分しています。

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ステップ 6.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$- 1$	$7$	$- 58$	$60$	$250$	$125$

ステップ 6.2

被除数 $(7)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$- 1$	$7$	$- 58$	$60$	$250$	$125$

	$7$

ステップ 6.3

結果 $(7)$ の最新の項目に除数 $(- 1)$ を掛け、 $(- 7)$ の結果を被除数 $(- 58)$ の隣の項の下に置きます。

$- 1$	$7$	$- 58$	$60$	$250$	$125$
		$- 7$
	$7$

ステップ 6.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 1$	$7$	$- 58$	$60$	$250$	$125$
		$- 7$
	$7$	$- 65$

ステップ 6.5

結果 $(- 65)$ の最新の項目に除数 $(- 1)$ を掛け、 $(65)$ の結果を被除数 $(60)$ の隣の項の下に置きます。

$- 1$	$7$	$- 58$	$60$	$250$	$125$
		$- 7$	$65$
	$7$	$- 65$

ステップ 6.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 1$	$7$	$- 58$	$60$	$250$	$125$
		$- 7$	$65$
	$7$	$- 65$	$125$

ステップ 6.7

結果 $(125)$ の最新の項目に除数 $(- 1)$ を掛け、 $(- 125)$ の結果を被除数 $(250)$ の隣の項の下に置きます。

$- 1$	$7$	$- 58$	$60$	$250$	$125$
		$- 7$	$65$	$- 125$
	$7$	$- 65$	$125$

ステップ 6.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 1$	$7$	$- 58$	$60$	$250$	$125$
		$- 7$	$65$	$- 125$
	$7$	$- 65$	$125$	$125$

ステップ 6.9

結果 $(125)$ の最新の項目に除数 $(- 1)$ を掛け、 $(- 125)$ の結果を被除数 $(125)$ の隣の項の下に置きます。

$- 1$	$7$	$- 58$	$60$	$250$	$125$
		$- 7$	$65$	$- 125$	$- 125$
	$7$	$- 65$	$125$	$125$

ステップ 6.10

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 1$	$7$	$- 58$	$60$	$250$	$125$
		$- 7$	$65$	$- 125$	$- 125$
	$7$	$- 65$	$125$	$125$	$0$

ステップ 6.11

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$7 x^{3} + - 65 x^{2} + (125) x + 125$

ステップ 6.12

商の多項式を簡約します。

$7 x^{3} - 65 x^{2} + 125 x + 125$

ステップ 7

方程式を解き、残りの根を求めます。

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ステップ 7.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 7.1.1

有理根検定を用いて $7 x^{3} - 65 x^{2} + 125 x + 125$ を因数分解します。

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ステップ 7.1.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 125, \pm 5, \pm 25$

$q = \pm 1, \pm 7$

ステップ 7.1.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 0.\overline{142857}, \pm 125, \pm 17.\overline{857142}, \pm 5, \pm 0.\overline{714285}, \pm 25, \pm 3.\overline{571428}$

ステップ 7.1.1.3

$- 0.\overline{714285}$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 0.\overline{714285}$ は多項式の根です。

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ステップ 7.1.1.3.1

$- 0.\overline{714285}$ を多項式に代入します。

$7 {(- 0.\overline{714285})}^{3} - 65 {(- 0.\overline{714285})}^{2} + 125 \cdot - 0.\overline{714285} + 125$

ステップ 7.1.1.3.2

$- 0.\overline{714285}$ を $3$ 乗します。

$7 \cdot - 0.36443148 - 65 {(- 0.\overline{714285})}^{2} + 125 \cdot - 0.\overline{714285} + 125$

ステップ 7.1.1.3.3

$7$ に $- 0.36443148$ をかけます。

$- 2.5510204 - 65 {(- 0.\overline{714285})}^{2} + 125 \cdot - 0.\overline{714285} + 125$

ステップ 7.1.1.3.4

$- 0.\overline{714285}$ を $2$ 乗します。

$- 2.5510204 - 65 \cdot 0.51020408 + 125 \cdot - 0.\overline{714285} + 125$

ステップ 7.1.1.3.5

$- 65$ に $0.51020408$ をかけます。

$- 2.5510204 - 33.1632653 + 125 \cdot - 0.\overline{714285} + 125$

ステップ 7.1.1.3.6

$- 2.5510204$ から $33.1632653$ を引きます。

$- 35.71428571 + 125 \cdot - 0.\overline{714285} + 125$

ステップ 7.1.1.3.7

$125$ に $- 0.\overline{714285}$ をかけます。

$- 35.71428571 - 89.\overline{285714} + 125$

ステップ 7.1.1.3.8

$- 35.71428571$ から $89.\overline{285714}$ を引きます。

$- 125 + 125$

ステップ 7.1.1.3.9

$- 125$ と $125$ をたし算します。

$0$

ステップ 7.1.1.4

$- 0.\overline{714285}$ は既知の根なので、多項式を $7 x + 5$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{7 x^{3} - 65 x^{2} + 125 x + 125}{7 x + 5}$

ステップ 7.1.1.5

$7 x^{3} - 65 x^{2} + 125 x + 125$ を $7 x + 5$ で割ります。

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ステップ 7.1.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$7 x$

$5$

$7 x^{3}$

$65 x^{2}$

$125 x$

$125$

ステップ 7.1.1.5.2

被除数 $7 x^{3}$ の最高次項を除数 $7 x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	-	$65 x^{2}$	+	$125 x$	+	$125$

ステップ 7.1.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	-	$65 x^{2}$	+	$125 x$	+	$125$
			+	$7 x^{3}$	+	$5 x^{2}$

ステップ 7.1.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $7 x^{3} + 5 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	-	$65 x^{2}$	+	$125 x$	+	$125$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$

ステップ 7.1.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	-	$65 x^{2}$	+	$125 x$	+	$125$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$70 x^{2}$

ステップ 7.1.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	-	$65 x^{2}$	+	$125 x$	+	$125$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$70 x^{2}$	+	$125 x$

ステップ 7.1.1.5.7

被除数 $- 70 x^{2}$ の最高次項を除数 $7 x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$10 x$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	-	$65 x^{2}$	+	$125 x$	+	$125$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$70 x^{2}$	+	$125 x$

ステップ 7.1.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$10 x$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	-	$65 x^{2}$	+	$125 x$	+	$125$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$70 x^{2}$	+	$125 x$
					-	$70 x^{2}$	-	$50 x$

ステップ 7.1.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 70 x^{2} - 50 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$10 x$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	-	$65 x^{2}$	+	$125 x$	+	$125$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$70 x^{2}$	+	$125 x$
					+	$70 x^{2}$	+	$50 x$

ステップ 7.1.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$10 x$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	-	$65 x^{2}$	+	$125 x$	+	$125$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$70 x^{2}$	+	$125 x$
					+	$70 x^{2}$	+	$50 x$
							+	$175 x$

ステップ 7.1.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	-	$10 x$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	-	$65 x^{2}$	+	$125 x$	+	$125$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$70 x^{2}$	+	$125 x$
					+	$70 x^{2}$	+	$50 x$
							+	$175 x$	+	$125$

ステップ 7.1.1.5.12

被除数 $175 x$ の最高次項を除数 $7 x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$25$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	-	$65 x^{2}$	+	$125 x$	+	$125$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$70 x^{2}$	+	$125 x$
					+	$70 x^{2}$	+	$50 x$
							+	$175 x$	+	$125$

ステップ 7.1.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$25$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	-	$65 x^{2}$	+	$125 x$	+	$125$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$70 x^{2}$	+	$125 x$
					+	$70 x^{2}$	+	$50 x$
							+	$175 x$	+	$125$
							+	$175 x$	+	$125$

ステップ 7.1.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $175 x + 125$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$25$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	-	$65 x^{2}$	+	$125 x$	+	$125$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$70 x^{2}$	+	$125 x$
					+	$70 x^{2}$	+	$50 x$
							+	$175 x$	+	$125$
							-	$175 x$	-	$125$

ステップ 7.1.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$25$
$7 x$	+	$5$		$7 x^{3}$	-	$65 x^{2}$	+	$125 x$	+	$125$
			-	$7 x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$70 x^{2}$	+	$125 x$
					+	$70 x^{2}$	+	$50 x$
							+	$175 x$	+	$125$
							-	$175 x$	-	$125$
										$0$

ステップ 7.1.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} - 10 x + 25$

ステップ 7.1.1.6

$7 x^{3} - 65 x^{2} + 125 x + 125$ を因数の集合として書き換えます。

$(7 x + 5) (x^{2} - 10 x + 25) = 0$

ステップ 7.1.2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 7.1.2.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$(7 x + 5) (x^{2} - 10 x + 5^{2}) = 0$

ステップ 7.1.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

ステップ 7.1.2.3

多項式を書き換えます。

$(7 x + 5) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

ステップ 7.1.2.4

$a = x$ と $b = 5$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$(7 x + 5) {(x - 5)}^{2} = 0$

ステップ 7.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$7 x + 5 = 0$

${(x - 5)}^{2} = 0$

ステップ 7.3

$7 x + 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.3.1

$7 x + 5$ が $0$ に等しいとします。

$7 x + 5 = 0$

ステップ 7.3.2

$x$ について $7 x + 5 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.1

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$7 x = - 5$

ステップ 7.3.2.2

$7 x = - 5$ の各項を $7$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.3.2.2.1

$7 x = - 5$ の各項を $7$ で割ります。

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 5}{7}$

ステップ 7.3.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.2.2.1

$7$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 5}{7}$

ステップ 7.3.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 5}{7}$

ステップ 7.3.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{5}{7}$

ステップ 7.4

${(x - 5)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.4.1

${(x - 5)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x - 5)}^{2} = 0$

ステップ 7.4.2

$x$ について ${(x - 5)}^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.1

$x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x - 5 = 0$

ステップ 7.4.2.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 7.5

最終解は $(7 x + 5) {(x - 5)}^{2} = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - \frac{5}{7}, 5$

ステップ 8

多項式は線形因数の集合として書くことができません。

$(x + 1) (x + \frac{5}{7}) (x - 5)$

ステップ 9

多項式 $7 x^{4} - 58 x^{3} + 60 x^{2} + 250 x + 125$ の根（0）です。

$x = - 1, - \frac{5}{7}, 5$

ステップ 10

代数 例

代数例