代数例

$f (x) = 6 x^{4} - 21 x^{3} - 4 x^{2} + 24 x - 35$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 7, \pm 35$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{6}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm \frac{5}{3}, \pm \frac{5}{6}, \pm 7, \pm \frac{7}{2}, \pm \frac{7}{3}, \pm \frac{7}{6}, \pm 35, \pm \frac{35}{2}, \pm \frac{35}{3}, \pm \frac{35}{6}$

ステップ 3

可能な根を多項式にそれぞれ代入し、実際の根を求めます。簡約し、値が $0$ か、つまり根であるか確認します。

$6 {(\frac{7}{2})}^{4} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

ステップ 4

式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しくなり、 $x = \frac{7}{2}$ は多項式の根です。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

積の法則を $\frac{7}{2}$ に当てはめます。

$6 \frac{7^{4}}{2^{4}} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

ステップ 4.1.2

$7$ を $4$ 乗します。

$6 \frac{2401}{2^{4}} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

ステップ 4.1.3

$2$ を $4$ 乗します。

$6 (\frac{2401}{16}) - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

ステップ 4.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$2 (3) \frac{2401}{16} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

ステップ 4.1.4.2

$2$ を $16$ で因数分解します。

$2 \cdot 3 \frac{2401}{2 \cdot 8} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

ステップ 4.1.4.3

共通因数を約分します。

$2 \cdot 3 \frac{2401}{2 \cdot 8} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

ステップ 4.1.4.4

式を書き換えます。

$3 (\frac{2401}{8}) - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

ステップ 4.1.5

$3$ と $\frac{2401}{8}$ をまとめます。

$\frac{3 \cdot 2401}{8} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

ステップ 4.1.6

$3$ に $2401$ をかけます。

$\frac{7203}{8} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

ステップ 4.1.7

積の法則を $\frac{7}{2}$ に当てはめます。

$\frac{7203}{8} - 21 \frac{7^{3}}{2^{3}} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

ステップ 4.1.8

$7$ を $3$ 乗します。

$\frac{7203}{8} - 21 \frac{343}{2^{3}} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

ステップ 4.1.9

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{7203}{8} - 21 (\frac{343}{8}) - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

ステップ 4.1.10

$- 21 (\frac{343}{8})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.10.1

$- 21$ と $\frac{343}{8}$ をまとめます。

$\frac{7203}{8} + \frac{- 21 \cdot 343}{8} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

ステップ 4.1.10.2

$- 21$ に $343$ をかけます。

$\frac{7203}{8} + \frac{- 7203}{8} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

ステップ 4.1.11

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

ステップ 4.1.12

積の法則を $\frac{7}{2}$ に当てはめます。

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 4 \frac{7^{2}}{2^{2}} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

ステップ 4.1.13

$7$ を $2$ 乗します。

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 4 \frac{49}{2^{2}} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

ステップ 4.1.14

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 4 (\frac{49}{4}) + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

ステップ 4.1.15

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.15.1

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} + 4 (- 1) \frac{49}{4} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

ステップ 4.1.15.2

共通因数を約分します。

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} + 4 \cdot - 1 \frac{49}{4} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

ステップ 4.1.15.3

式を書き換えます。

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 1 \cdot 49 + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

ステップ 4.1.16

$- 1$ に $49$ をかけます。

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 49 + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

ステップ 4.1.17

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.17.1

$2$ を $24$ で因数分解します。

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 49 + 2 (12) \frac{7}{2} - 35$

ステップ 4.1.17.2

共通因数を約分します。

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 49 + 2 \cdot 12 \frac{7}{2} - 35$

ステップ 4.1.17.3

式を書き換えます。

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 49 + 12 \cdot 7 - 35$

ステップ 4.1.18

$12$ に $7$ をかけます。

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 49 + 84 - 35$

ステップ 4.2

分数をまとめます。

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ステップ 4.2.1

公分母の分子をまとめます。

$- 49 + 84 - 35 + \frac{7203 - 7203}{8}$

ステップ 4.2.2

$7203$ から $7203$ を引きます。

$- 49 + 84 - 35 + \frac{0}{8}$

ステップ 4.3

公分母を求めます。

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ステップ 4.3.1

$- 49$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{- 49}{1} + 84 - 35 + \frac{0}{8}$

ステップ 4.3.2

$\frac{- 49}{1}$ に $\frac{8}{8}$ をかけます。

$\frac{- 49}{1} \cdot \frac{8}{8} + 84 - 35 + \frac{0}{8}$

ステップ 4.3.3

$\frac{- 49}{1}$ に $\frac{8}{8}$ をかけます。

$\frac{- 49 \cdot 8}{8} + 84 - 35 + \frac{0}{8}$

ステップ 4.3.4

$84$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{- 49 \cdot 8}{8} + \frac{84}{1} - 35 + \frac{0}{8}$

ステップ 4.3.5

$\frac{84}{1}$ に $\frac{8}{8}$ をかけます。

$\frac{- 49 \cdot 8}{8} + \frac{84}{1} \cdot \frac{8}{8} - 35 + \frac{0}{8}$

ステップ 4.3.6

$\frac{84}{1}$ に $\frac{8}{8}$ をかけます。

$\frac{- 49 \cdot 8}{8} + \frac{84 \cdot 8}{8} - 35 + \frac{0}{8}$

ステップ 4.3.7

$- 35$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{- 49 \cdot 8}{8} + \frac{84 \cdot 8}{8} + \frac{- 35}{1} + \frac{0}{8}$

ステップ 4.3.8

$\frac{- 35}{1}$ に $\frac{8}{8}$ をかけます。

$\frac{- 49 \cdot 8}{8} + \frac{84 \cdot 8}{8} + \frac{- 35}{1} \cdot \frac{8}{8} + \frac{0}{8}$

ステップ 4.3.9

$\frac{- 35}{1}$ に $\frac{8}{8}$ をかけます。

$\frac{- 49 \cdot 8}{8} + \frac{84 \cdot 8}{8} + \frac{- 35 \cdot 8}{8} + \frac{0}{8}$

ステップ 4.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 49 \cdot 8 + 84 \cdot 8 - 35 \cdot 8}{8}$

ステップ 4.5

各項を簡約します。

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ステップ 4.5.1

$- 49$ に $8$ をかけます。

$\frac{- 392 + 84 \cdot 8 - 35 \cdot 8}{8}$

ステップ 4.5.2

$84$ に $8$ をかけます。

$\frac{- 392 + 672 - 35 \cdot 8}{8}$

ステップ 4.5.3

$- 35$ に $8$ をかけます。

$\frac{- 392 + 672 - 280}{8}$

ステップ 4.6

式を簡約します。

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ステップ 4.6.1

$- 392$ と $672$ をたし算します。

$\frac{280 - 280}{8}$

ステップ 4.6.2

$280$ から $280$ を引きます。

$\frac{0}{8}$

ステップ 4.6.3

$0$ を $8$ で割ります。

$0$

ステップ 5

$\frac{7}{2}$ は既知の根なので、多項式を $x - \frac{7}{2}$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{6 x^{4} - 21 x^{3} - 4 x^{2} + 24 x - 35}{x - \frac{7}{2}}$

ステップ 6

次に、残りの多項式の根を求めます。多項式の次数は $1$ で約分しています。

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ステップ 6.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$

ステップ 6.2

被除数 $(6)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$

	$6$

ステップ 6.3

結果 $(6)$ の最新の項目に除数 $(\frac{7}{2})$ を掛け、 $(21)$ の結果を被除数 $(- 21)$ の隣の項の下に置きます。

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$
	$6$

ステップ 6.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$
	$6$	$0$

ステップ 6.5

結果 $(0)$ の最新の項目に除数 $(\frac{7}{2})$ を掛け、 $(0)$ の結果を被除数 $(- 4)$ の隣の項の下に置きます。

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$	$0$
	$6$	$0$

ステップ 6.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$	$0$
	$6$	$0$	$- 4$

ステップ 6.7

結果 $(- 4)$ の最新の項目に除数 $(\frac{7}{2})$ を掛け、 $(- 14)$ の結果を被除数 $(24)$ の隣の項の下に置きます。

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$	$0$	$- 14$
	$6$	$0$	$- 4$

ステップ 6.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$	$0$	$- 14$
	$6$	$0$	$- 4$	$10$

ステップ 6.9

結果 $(10)$ の最新の項目に除数 $(\frac{7}{2})$ を掛け、 $(35)$ の結果を被除数 $(- 35)$ の隣の項の下に置きます。

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$	$0$	$- 14$	$35$
	$6$	$0$	$- 4$	$10$

ステップ 6.10

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$	$0$	$- 14$	$35$
	$6$	$0$	$- 4$	$10$	$0$

ステップ 6.11

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$6 x^{3} + 0 x^{2} + (- 4) x + 10$

ステップ 6.12

商の多項式を簡約します。

$6 x^{3} - 4 x + 10$

ステップ 7

$2$ を $6 x^{3} - 4 x + 10$ で因数分解します。

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ステップ 7.1

$2$ を $6 x^{3}$ で因数分解します。

$(x - \frac{7}{2}) (2 (3 x^{3}) - 4 x + 10)$

ステップ 7.2

$2$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$(x - \frac{7}{2}) (2 (3 x^{3}) + 2 (- 2 x) + 10)$

ステップ 7.3

$2$ を $10$ で因数分解します。

$(x - \frac{7}{2}) (2 (3 x^{3}) + 2 (- 2 x) + 2 (5))$

ステップ 7.4

$2$ を $2 (3 x^{3}) + 2 (- 2 x)$ で因数分解します。

$(x - \frac{7}{2}) (2 (3 x^{3} - 2 x) + 2 (5))$

ステップ 7.5

$2$ を $2 (3 x^{3} - 2 x) + 2 (5)$ で因数分解します。

$(x - \frac{7}{2}) (2 (3 x^{3} - 2 x + 5))$

ステップ 8

方程式の各辺をグラフにします。解は交点のx値です。

$x \approx - 1.37173942, \frac{7}{2}$

ステップ 9

代数 例

代数例