代数例

$4 x^{4} - 26 x^{3} + 50 x^{2} - 52 x + 84 = 0$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 7, \pm 12, \pm 14, \pm 21, \pm 28, \pm 42, \pm 84$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 2, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{3}{4}, \pm 4, \pm 6, \pm 7, \pm \frac{7}{2}, \pm \frac{7}{4}, \pm 12, \pm 14, \pm 21, \pm \frac{21}{2}, \pm \frac{21}{4}, \pm 28, \pm 42, \pm 84$

ステップ 3

可能な根を多項式にそれぞれ代入し、実際の根を求めます。簡約し、値が $0$ か、つまり根であるか確認します。

$4 {(3)}^{4} - 26 {(3)}^{3} + 50 {(3)}^{2} - 52 \cdot 3 + 84$

ステップ 4

式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しくなり、 $x = 3$ は多項式の根です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$3$ を $4$ 乗します。

$4 \cdot 81 - 26 {(3)}^{3} + 50 {(3)}^{2} - 52 \cdot 3 + 84$

ステップ 4.1.2

$4$ に $81$ をかけます。

$324 - 26 {(3)}^{3} + 50 {(3)}^{2} - 52 \cdot 3 + 84$

ステップ 4.1.3

$3$ を $3$ 乗します。

$324 - 26 \cdot 27 + 50 {(3)}^{2} - 52 \cdot 3 + 84$

ステップ 4.1.4

$- 26$ に $27$ をかけます。

$324 - 702 + 50 {(3)}^{2} - 52 \cdot 3 + 84$

ステップ 4.1.5

$3$ を $2$ 乗します。

$324 - 702 + 50 \cdot 9 - 52 \cdot 3 + 84$

ステップ 4.1.6

$50$ に $9$ をかけます。

$324 - 702 + 450 - 52 \cdot 3 + 84$

ステップ 4.1.7

$- 52$ に $3$ をかけます。

$324 - 702 + 450 - 156 + 84$

ステップ 4.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$324$ から $702$ を引きます。

$- 378 + 450 - 156 + 84$

ステップ 4.2.2

$- 378$ と $450$ をたし算します。

$72 - 156 + 84$

ステップ 4.2.3

$72$ から $156$ を引きます。

$- 84 + 84$

ステップ 4.2.4

$- 84$ と $84$ をたし算します。

$0$

ステップ 5

$3$ は既知の根なので、多項式を $x - 3$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{4 x^{4} - 26 x^{3} + 50 x^{2} - 52 x + 84}{x - 3}$

ステップ 6

次に、残りの多項式の根を求めます。多項式の次数は $1$ で約分しています。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$3$	$4$	$- 26$	$50$	$- 52$	$84$

ステップ 6.2

被除数 $(4)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$3$	$4$	$- 26$	$50$	$- 52$	$84$

	$4$

ステップ 6.3

結果 $(4)$ の最新の項目に除数 $(3)$ を掛け、 $(12)$ の結果を被除数 $(- 26)$ の隣の項の下に置きます。

$3$	$4$	$- 26$	$50$	$- 52$	$84$
		$12$
	$4$

ステップ 6.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$3$	$4$	$- 26$	$50$	$- 52$	$84$
		$12$
	$4$	$- 14$

ステップ 6.5

結果 $(- 14)$ の最新の項目に除数 $(3)$ を掛け、 $(- 42)$ の結果を被除数 $(50)$ の隣の項の下に置きます。

$3$	$4$	$- 26$	$50$	$- 52$	$84$
		$12$	$- 42$
	$4$	$- 14$

ステップ 6.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$3$	$4$	$- 26$	$50$	$- 52$	$84$
		$12$	$- 42$
	$4$	$- 14$	$8$

ステップ 6.7

結果 $(8)$ の最新の項目に除数 $(3)$ を掛け、 $(24)$ の結果を被除数 $(- 52)$ の隣の項の下に置きます。

$3$	$4$	$- 26$	$50$	$- 52$	$84$
		$12$	$- 42$	$24$
	$4$	$- 14$	$8$

ステップ 6.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$3$	$4$	$- 26$	$50$	$- 52$	$84$
		$12$	$- 42$	$24$
	$4$	$- 14$	$8$	$- 28$

ステップ 6.9

結果 $(- 28)$ の最新の項目に除数 $(3)$ を掛け、 $(- 84)$ の結果を被除数 $(84)$ の隣の項の下に置きます。

$3$	$4$	$- 26$	$50$	$- 52$	$84$
		$12$	$- 42$	$24$	$- 84$
	$4$	$- 14$	$8$	$- 28$

ステップ 6.10

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$3$	$4$	$- 26$	$50$	$- 52$	$84$
		$12$	$- 42$	$24$	$- 84$
	$4$	$- 14$	$8$	$- 28$	$0$

ステップ 6.11

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$4 x^{3} + - 14 x^{2} + (8) x - 28$

ステップ 6.12

商の多項式を簡約します。

$4 x^{3} - 14 x^{2} + 8 x - 28$

ステップ 7

$2$ を $4 x^{3} - 14 x^{2} + 8 x - 28$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$2$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$(x - 3) (2 (2 x^{3}) - 14 x^{2} + 8 x - 28)$

ステップ 7.2

$2$ を $- 14 x^{2}$ で因数分解します。

$(x - 3) (2 (2 x^{3}) + 2 (- 7 x^{2}) + 8 x - 28)$

ステップ 7.3

$2$ を $8 x$ で因数分解します。

$(x - 3) (2 (2 x^{3}) + 2 (- 7 x^{2}) + 2 (4 x) - 28)$

ステップ 7.4

$2$ を $- 28$ で因数分解します。

$(x - 3) (2 (2 x^{3}) + 2 (- 7 x^{2}) + 2 (4 x) + 2 (- 14))$

ステップ 7.5

$2$ を $2 (2 x^{3}) + 2 (- 7 x^{2})$ で因数分解します。

$(x - 3) (2 (2 x^{3} - 7 x^{2}) + 2 (4 x) + 2 (- 14))$

ステップ 7.6

$2$ を $2 (2 x^{3} - 7 x^{2}) + 2 (4 x)$ で因数分解します。

$(x - 3) (2 (2 x^{3} - 7 x^{2} + 4 x) + 2 (- 14))$

ステップ 7.7

$2$ を $2 (2 x^{3} - 7 x^{2} + 4 x) + 2 (- 14)$ で因数分解します。

$(x - 3) (2 (2 x^{3} - 7 x^{2} + 4 x - 14))$

ステップ 8

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(x - 3) (2 ((2 x^{3} - 7 x^{2}) + 4 x - 14))$

ステップ 8.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$(x - 3) (2 (x^{2} (2 x - 7) + 2 (2 x - 7)))$

ステップ 9

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

最大公約数 $2 x - 7$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x - 3) (2 ((2 x - 7) (x^{2} + 2)))$

ステップ 9.2

不要な括弧を削除します。

$(x - 3) (2 (2 x - 7) (x^{2} + 2))$

ステップ 10

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$2$ を $4 x^{4} - 26 x^{3} + 50 x^{2} - 52 x + 84$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1

$2$ を $4 x^{4}$ で因数分解します。

$2 (2 x^{4}) - 26 x^{3} + 50 x^{2} - 52 x + 84 = 0$

ステップ 10.1.2

$2$ を $- 26 x^{3}$ で因数分解します。

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 13 x^{3}) + 50 x^{2} - 52 x + 84 = 0$

ステップ 10.1.3

$2$ を $50 x^{2}$ で因数分解します。

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 13 x^{3}) + 2 (25 x^{2}) - 52 x + 84 = 0$

ステップ 10.1.4

$2$ を $- 52 x$ で因数分解します。

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 13 x^{3}) + 2 (25 x^{2}) + 2 (- 26 x) + 84 = 0$

ステップ 10.1.5

$2$ を $84$ で因数分解します。

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 13 x^{3}) + 2 (25 x^{2}) + 2 (- 26 x) + 2 (42) = 0$

ステップ 10.1.6

$2$ を $2 (2 x^{4}) + 2 (- 13 x^{3})$ で因数分解します。

$2 (2 x^{4} - 13 x^{3}) + 2 (25 x^{2}) + 2 (- 26 x) + 2 (42) = 0$

ステップ 10.1.7

$2$ を $2 (2 x^{4} - 13 x^{3}) + 2 (25 x^{2})$ で因数分解します。

$2 (2 x^{4} - 13 x^{3} + 25 x^{2}) + 2 (- 26 x) + 2 (42) = 0$

ステップ 10.1.8

$2$ を $2 (2 x^{4} - 13 x^{3} + 25 x^{2}) + 2 (- 26 x)$ で因数分解します。

$2 (2 x^{4} - 13 x^{3} + 25 x^{2} - 26 x) + 2 (42) = 0$

ステップ 10.1.9

$2$ を $2 (2 x^{4} - 13 x^{3} + 25 x^{2} - 26 x) + 2 (42)$ で因数分解します。

$2 (2 x^{4} - 13 x^{3} + 25 x^{2} - 26 x + 42) = 0$

ステップ 10.2

項を再分類します。

$2 (- 13 x^{3} - 26 x + 2 x^{4} + 25 x^{2} + 42) = 0$

ステップ 10.3

$- 13 x$ を $- 13 x^{3} - 26 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1

$- 13 x$ を $- 13 x^{3}$ で因数分解します。

$2 (- 13 x \cdot x^{2} - 26 x + 2 x^{4} + 25 x^{2} + 42) = 0$

ステップ 10.3.2

$- 13 x$ を $- 26 x$ で因数分解します。

$2 (- 13 x \cdot x^{2} - 13 x \cdot 2 + 2 x^{4} + 25 x^{2} + 42) = 0$

ステップ 10.3.3

$- 13 x$ を $- 13 x (x^{2}) - 13 x (2)$ で因数分解します。

$2 (- 13 x (x^{2} + 2) + 2 x^{4} + 25 x^{2} + 42) = 0$

ステップ 10.4

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$2 (- 13 x (x^{2} + 2) + 2 {(x^{2})}^{2} + 25 x^{2} + 42) = 0$

ステップ 10.5

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$2 (- 13 x (x^{2} + 2) + 2 u^{2} + 25 u + 42) = 0$

ステップ 10.6

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.6.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot 42 = 84$ で和が $b = 25$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.6.1.1

$25$ を $25 u$ で因数分解します。

$2 (- 13 x (x^{2} + 2) + 2 u^{2} + 25 (u) + 42) = 0$

ステップ 10.6.1.2

$25$ を $4$ プラス $21$ に書き換える

$2 (- 13 x (x^{2} + 2) + 2 u^{2} + (4 + 21) u + 42) = 0$

ステップ 10.6.1.3

分配則を当てはめます。

$2 (- 13 x (x^{2} + 2) + 2 u^{2} + 4 u + 21 u + 42) = 0$

ステップ 10.6.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.6.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$2 (- 13 x (x^{2} + 2) + 2 u^{2} + 4 u + 21 u + 42) = 0$

ステップ 10.6.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$2 (- 13 x (x^{2} + 2) + 2 u (u + 2) + 21 (u + 2)) = 0$

ステップ 10.6.3

最大公約数 $u + 2$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$2 (- 13 x (x^{2} + 2) + (u + 2) (2 u + 21)) = 0$

ステップ 10.7

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$2 (- 13 x (x^{2} + 2) + (x^{2} + 2) (2 x^{2} + 21)) = 0$

ステップ 10.8

$x^{2} + 2$ を $- 13 x (x^{2} + 2) + (x^{2} + 2) (2 x^{2} + 21)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.8.1

$x^{2} + 2$ を $- 13 x (x^{2} + 2)$ で因数分解します。

$2 ((x^{2} + 2) (- 13 x) + (x^{2} + 2) (2 x^{2} + 21)) = 0$

ステップ 10.8.2

$x^{2} + 2$ を $(x^{2} + 2) (- 13 x) + (x^{2} + 2) (2 x^{2} + 21)$ で因数分解します。

$2 ((x^{2} + 2) (- 13 x + 2 x^{2} + 21)) = 0$

ステップ 10.9

$u = x$ とします。 $u$ を $x$ に代入します。

$2 ((x^{2} + 2) (- 13 u + 2 u^{2} + 21)) = 0$

ステップ 10.10

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.10.1

項を並べ替えます。

$2 ((x^{2} + 2) (2 u^{2} - 13 u + 21)) = 0$

ステップ 10.10.2

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot 21 = 42$ で和が $b = - 13$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.10.2.1

$- 13$ を $- 13 u$ で因数分解します。

$2 ((x^{2} + 2) (2 u^{2} - 13 u + 21)) = 0$

ステップ 10.10.2.2

$- 13$ を $- 6$ プラス $- 7$ に書き換える

$2 ((x^{2} + 2) (2 u^{2} + (- 6 - 7) u + 21)) = 0$

ステップ 10.10.2.3

分配則を当てはめます。

$2 ((x^{2} + 2) (2 u^{2} - 6 u - 7 u + 21)) = 0$

ステップ 10.10.3

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.10.3.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$2 ((x^{2} + 2) ((2 u^{2} - 6 u) - 7 u + 21)) = 0$

ステップ 10.10.3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$2 ((x^{2} + 2) (2 u (u - 3) - 7 (u - 3))) = 0$

ステップ 10.10.4

最大公約数 $u - 3$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$2 ((x^{2} + 2) ((u - 3) (2 u - 7))) = 0$

ステップ 10.11

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.11.1

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.11.1.1

$u$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$2 ((x^{2} + 2) ((x - 3) (2 x - 7))) = 0$

ステップ 10.11.1.2

不要な括弧を削除します。

$2 ((x^{2} + 2) (x - 3) (2 x - 7)) = 0$

ステップ 10.11.2

不要な括弧を削除します。

$2 (x^{2} + 2) (x - 3) (2 x - 7) = 0$

ステップ 11

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} + 2 = 0$

$x - 3 = 0$

$2 x - 7 = 0$

ステップ 12

$x^{2} + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$x^{2} + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 2 = 0$

ステップ 12.2

$x$ について $x^{2} + 2 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x^{2} = - 2$

ステップ 12.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

ステップ 12.2.3

$\pm \sqrt{- 2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.3.1

$- 2$ を $- 1 (2)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

ステップ 12.2.3.2

$\sqrt{- 1 (2)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

ステップ 12.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \sqrt{2}$

ステップ 12.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = i \sqrt{2}$

ステップ 12.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - i \sqrt{2}$

ステップ 12.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

ステップ 13

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 13.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 14

$2 x - 7$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

$2 x - 7$ が $0$ に等しいとします。

$2 x - 7 = 0$

ステップ 14.2

$x$ について $2 x - 7 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.1

方程式の両辺に $7$ を足します。

$2 x = 7$

ステップ 14.2.2

$2 x = 7$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.2.1

$2 x = 7$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{7}{2}$

ステップ 14.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{7}{2}$

ステップ 14.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{7}{2}$

ステップ 15

最終解は $2 (x^{2} + 2) (x - 3) (2 x - 7) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}, 3, \frac{7}{2}$

ステップ 16

代数 例

代数例