代数例

$f (x) = \ln (x^{2} + 1)$

ステップ 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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ステップ 1.1

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 1.1.1.1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 1.1.1.1.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 1.1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.1.2.1

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{1}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.1.1.2.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + 0)$

ステップ 1.1.1.2.4

分数をまとめます。

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ステップ 1.1.1.2.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x)$

ステップ 1.1.1.2.4.2

$2$ と $\frac{1}{x^{2} + 1}$ をまとめます。

$\frac{2}{x^{2} + 1} x$

ステップ 1.1.1.2.4.3

$\frac{2}{x^{2} + 1}$ と $x$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$

ステップ 1.1.2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$2 \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.3

微分します。

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ステップ 1.1.2.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.3.2

$x^{2} + 1$ に $1$ をかけます。

$2 \frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.3.3

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$2 \frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.3.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.3.6

式を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.6.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.3.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4

$x$ を $1$ 乗します。

$2 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.5

$x$ を $1$ 乗します。

$2 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.8

$x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$2 \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.9

$2$ と $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{2 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.10

簡約します。

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ステップ 1.1.2.10.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.10.2

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.2.10.2.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.10.2.2

$2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ です。

$\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

ステップ 1.2.2

分子を0に等しくします。

$- 2 x^{2} + 2 = 0$

ステップ 1.2.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 1.2.3.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$- 2 x^{2} = - 2$

ステップ 1.2.3.2

$- 2 x^{2} = - 2$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

$- 2 x^{2} = - 2$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

ステップ 1.2.3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

ステップ 1.2.3.2.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 2}{- 2}$

ステップ 1.2.3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.3.1

$- 2$ を $- 2$ で割ります。

$x^{2} = 1$

ステップ 1.2.3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{1}$

ステップ 1.2.3.4

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm 1$

ステップ 1.2.3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 1.2.3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 1$

ステップ 1.2.3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 1$

ステップ 1.2.3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 1, - 1$

ステップ 2

$f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ の定義域を求めます。

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ステップ 2.1

$\ln (x^{2} + 1)$ の偏角を $0$ より大きいとして、式が定義である場所を求めます。

$x^{2} + 1 > 0$

ステップ 2.2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.2.1

不等式の両辺から $1$ を引きます。

$x^{2} > - 1$

ステップ 2.2.2

左辺に偶数乗があるので、実数は常に正です。

すべての実数

ステップ 2.3

定義域はすべての実数です。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 3

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

ステップ 4

区間 $(- \infty, - 1)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f'' (- 4) = \frac{- 2 {(- 4)}^{2} + 2}{{({(- 4)}^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 4) = \frac{- 2 \cdot 16 + 2}{{({(- 4)}^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.2

$- 2$ に $16$ をかけます。

$f'' (- 4) = \frac{- 32 + 2}{{({(- 4)}^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.3

$- 32$ と $2$ をたし算します。

$f'' (- 4) = \frac{- 30}{{({(- 4)}^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 4) = \frac{- 30}{{(16 + 1)}^{2}}$

ステップ 4.2.2.2

$16$ と $1$ をたし算します。

$f'' (- 4) = \frac{- 30}{17^{2}}$

ステップ 4.2.2.3

$17$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 4) = \frac{- 30}{289}$

ステップ 4.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (- 4) = - \frac{30}{289}$

ステップ 4.2.4

最終的な答えは $- \frac{30}{289}$ です。

$- \frac{30}{289}$

ステップ 4.3

$f'' (- 4)$ が負なので、区間 $(- \infty, - 1)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, - 1)$ で下に凹します。

ステップ 5

区間 $(- 1, 1)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = \frac{- 2 {(0)}^{2} + 2}{{({(0)}^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = \frac{- 2 \cdot 0 + 2}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.1.2

$- 2$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = \frac{0 + 2}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.1.3

$0$ と $2$ をたし算します。

$f'' (0) = \frac{2}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = \frac{2}{{(0 + 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.2.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$f'' (0) = \frac{2}{1^{2}}$

ステップ 5.2.2.3

1のすべての数の累乗は1です。

$f'' (0) = \frac{2}{1}$

ステップ 5.2.3

$2$ を $1$ で割ります。

$f'' (0) = 2$

ステップ 5.2.4

最終的な答えは $2$ です。

$2$

ステップ 5.3

$f'' (0)$ が正なので、区間 $(- 1, 1)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- 1, 1)$ で上に凹します。

ステップ 6

区間 $(1, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f'' (4) = \frac{- 2 {(4)}^{2} + 2}{{({(4)}^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$f'' (4) = \frac{- 2 \cdot 16 + 2}{{(4^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.2

$- 2$ に $16$ をかけます。

$f'' (4) = \frac{- 32 + 2}{{(4^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.3

$- 32$ と $2$ をたし算します。

$f'' (4) = \frac{- 30}{{(4^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 6.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$4$ を $2$ 乗します。

$f'' (4) = \frac{- 30}{{(16 + 1)}^{2}}$

ステップ 6.2.2.2

$16$ と $1$ をたし算します。

$f'' (4) = \frac{- 30}{17^{2}}$

ステップ 6.2.2.3

$17$ を $2$ 乗します。

$f'' (4) = \frac{- 30}{289}$

ステップ 6.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (4) = - \frac{30}{289}$

ステップ 6.2.4

最終的な答えは $- \frac{30}{289}$ です。

$- \frac{30}{289}$

ステップ 6.3

$f'' (4)$ が負なので、区間 $(1, \infty)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(1, \infty)$ で下に凹します。

ステップ 7

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, - 1)$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(- 1, 1)$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が負なので $(1, \infty)$ で下に凹します。

ステップ 8

代数 例

代数例