代数例

$\frac{x^{2} + 5 x + 4}{(x^{2} - 4) (3 x + 1)} - \frac{x^{3} - 49}{9 x^{2} - 27 x - 36}$

ステップ 1

たすき掛けを利用して $x^{2} + 5 x + 4$ を因数分解します。

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ステップ 1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $4$ で、その和が $5$ です。

$1, 4$

ステップ 1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x^{2} - 4) (3 x + 1)} - \frac{x^{3} - 49}{9 x^{2} - 27 x - 36}$

ステップ 2

分母を簡約します。

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ステップ 2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x^{2} - 2^{2}) (3 x + 1)} - \frac{x^{3} - 49}{9 x^{2} - 27 x - 36}$

ステップ 2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2) (3 x + 1)} - \frac{x^{3} - 49}{9 x^{2} - 27 x - 36}$

ステップ 3

分母を簡約します。

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ステップ 3.1

$9$ を $9 x^{2} - 27 x - 36$ で因数分解します。

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ステップ 3.1.1

$9$ を $9 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2) (3 x + 1)} - \frac{x^{3} - 49}{9 (x^{2}) - 27 x - 36}$

ステップ 3.1.2

$9$ を $- 27 x$ で因数分解します。

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2) (3 x + 1)} - \frac{x^{3} - 49}{9 (x^{2}) + 9 (- 3 x) - 36}$

ステップ 3.1.3

$9$ を $- 36$ で因数分解します。

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2) (3 x + 1)} - \frac{x^{3} - 49}{9 x^{2} + 9 (- 3 x) + 9 \cdot - 4}$

ステップ 3.1.4

$9$ を $9 x^{2} + 9 (- 3 x)$ で因数分解します。

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2) (3 x + 1)} - \frac{x^{3} - 49}{9 (x^{2} - 3 x) + 9 \cdot - 4}$

ステップ 3.1.5

$9$ を $9 (x^{2} - 3 x) + 9 \cdot - 4$ で因数分解します。

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2) (3 x + 1)} - \frac{x^{3} - 49}{9 (x^{2} - 3 x - 4)}$

ステップ 3.2

たすき掛けを利用して $x^{2} - 3 x - 4$ を因数分解します。

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ステップ 3.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 4$ で、その和が $- 3$ です。

$- 4, 1$

ステップ 3.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2) (3 x + 1)} - \frac{x^{3} - 49}{9 ((x - 4) (x + 1))}$

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2) (3 x + 1)} - \frac{x^{3} - 49}{9 (x - 4) (x + 1)}$

ステップ 4

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$(x + 2) (x - 2) (3 x + 1), 9 (x - 4) (x + 1)$

ステップ 5

最小公倍数はすべての数を割り切る最小の正の数です。

1. 各数値の素因数を記入してください。

2. 各因数に、いずれかの値で発生する最大回数をかけてください。

ステップ 6

数 $1$ は、それ自身である正の因数を1つだけもつので、素数ではありません。

素数ではありません

ステップ 7

$9$ には $3$ と $3$ の因数があります。

$3 \cdot 3$

ステップ 8

$3$ に $3$ をかけます。

$9$

ステップ 9

$x + 2$ の因数は $x + 2$ そのものです。

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ は $1$ 回発生します。

ステップ 10

$x - 2$ の因数は $x - 2$ そのものです。

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ は $1$ 回発生します。

ステップ 11

$3 x + 1$ の因数は $3 x + 1$ そのものです。

$(3 x + 1) = 3 x + 1$

$(3 x + 1)$ は $1$ 回発生します。

ステップ 12

$x - 4$ の因数は $x - 4$ そのものです。

$(x - 4) = x - 4$

$(x - 4)$ は $1$ 回発生します。

ステップ 13

$x + 1$ の因数は $x + 1$ そのものです。

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ は $1$ 回発生します。

ステップ 14

$x + 2, x - 2, 3 x + 1, x - 4, x + 1$ の最小公倍数は、すべての因数がいずれかの項に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$(x + 2) (x - 2) (3 x + 1) (x - 4) (x + 1)$

ステップ 15

ある数の最小公倍数 $LCM$ はその数が因数分解された最小の数です。

$9 (x + 2) (x - 2) (3 x + 1) (x - 4) (x + 1)$

代数 例

代数例