代数例

$x^{2} - 2 y^{2} = 18$

ステップ 1

方程式の両辺から $x^{2}$ を引きます。

$- 2 y^{2} = 18 - x^{2}$

ステップ 2

$- 2 y^{2} = 18 - x^{2}$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.1

$- 2 y^{2} = 18 - x^{2}$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 y^{2}}{- 2} = \frac{18}{- 2} + \frac{- x^{2}}{- 2}$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 y^{2}}{- 2} = \frac{18}{- 2} + \frac{- x^{2}}{- 2}$

ステップ 2.2.1.2

$y^{2}$ を $1$ で割ります。

$y^{2} = \frac{18}{- 2} + \frac{- x^{2}}{- 2}$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

$18$ を $- 2$ で割ります。

$y^{2} = - 9 + \frac{- x^{2}}{- 2}$

ステップ 2.3.1.2

2つの負の値を割ると正の値になります。

$y^{2} = - 9 + \frac{x^{2}}{2}$

ステップ 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- 9 + \frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 4

$\pm \sqrt{- 9 + \frac{x^{2}}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 4.1

$- 9$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = \pm \sqrt{- 9 \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 4.2

$- 9$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 4.3

公分母の分子をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{- 9 \cdot 2 + x^{2}}{2}}$

ステップ 4.4

$- 9$ に $2$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{- 18 + x^{2}}{2}}$

ステップ 4.5

$\sqrt{\frac{- 18 + x^{2}}{2}}$ を $\frac{\sqrt{- 18 + x^{2}}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{- 18 + x^{2}}}{\sqrt{2}}$

ステップ 4.6

$\frac{\sqrt{- 18 + x^{2}}}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{- 18 + x^{2}}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 4.7

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 4.7.1

$\frac{\sqrt{- 18 + x^{2}}}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{- 18 + x^{2}} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 4.7.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$y = \pm \frac{\sqrt{- 18 + x^{2}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 4.7.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$y = \pm \frac{\sqrt{- 18 + x^{2}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 4.7.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \pm \frac{\sqrt{- 18 + x^{2}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 4.7.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$y = \pm \frac{\sqrt{- 18 + x^{2}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 4.7.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 4.7.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{- 18 + x^{2}} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 4.7.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \pm \frac{\sqrt{- 18 + x^{2}} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 4.7.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{- 18 + x^{2}} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.7.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.7.6.4.1

共通因数を約分します。

$y = \pm \frac{\sqrt{- 18 + x^{2}} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.7.6.4.2

式を書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{- 18 + x^{2}} \sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 4.7.6.5

指数を求めます。

$y = \pm \frac{\sqrt{- 18 + x^{2}} \sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.8

根の積の法則を使ってまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{(- 18 + x^{2}) \cdot 2}}{2}$

ステップ 4.9

$\pm \frac{\sqrt{(- 18 + x^{2}) \cdot 2}}{2}$ の因数を並べ替えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 18 + x^{2})}}{2}$

ステップ 5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \frac{\sqrt{2 (- 18 + x^{2})}}{2}$

ステップ 5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 18 + x^{2})}}{2}$

ステップ 5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \frac{\sqrt{2 (- 18 + x^{2})}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 18 + x^{2})}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- 18 + x^{2})}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 18 + x^{2})}}{2}$

ステップ 6

$\sqrt{2 (- 18 + x^{2})}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$2 (- 18 + x^{2}) \geq 0$

ステップ 7

$x$ について解きます。

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ステップ 7.1

$2 (- 18 + x^{2})$ を簡約します。

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ステップ 7.1.1

分配則を当てはめます。

$2 \cdot - 18 + 2 x^{2} \geq 0$

ステップ 7.1.2

$2$ に $- 18$ をかけます。

$- 36 + 2 x^{2} \geq 0$

ステップ 7.2

方程式の各辺をグラフにします。解は交点のx値です。

$x = - 3 \sqrt{2}, 3 \sqrt{2}$

ステップ 7.3

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 3 \sqrt{2}$

$- 3 \sqrt{2} < x < 3 \sqrt{2}$

$x > 3 \sqrt{2}$

ステップ 7.4

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 7.4.1

区間 $x < - 3 \sqrt{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.4.1.1

区間 $x < - 3 \sqrt{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 7$

ステップ 7.4.1.2

$x$ を元の不等式の $- 7$ で置き換えます。

$2 (- 18 + {(- 7)}^{2}) \geq 0$

ステップ 7.4.1.3

左辺 $62$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 7.4.2

区間 $- 3 \sqrt{2} < x < 3 \sqrt{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.4.2.1

区間 $- 3 \sqrt{2} < x < 3 \sqrt{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 7.4.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$2 (- 18 + {(0)}^{2}) \geq 0$

ステップ 7.4.2.3

左辺 $- 36$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 7.4.3

区間 $x > 3 \sqrt{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.4.3.1

区間 $x > 3 \sqrt{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 7$

ステップ 7.4.3.2

$x$ を元の不等式の $7$ で置き換えます。

$2 (- 18 + {(7)}^{2}) \geq 0$

ステップ 7.4.3.3

左辺 $62$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 7.4.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 3 \sqrt{2}$ 真

$- 3 \sqrt{2} < x < 3 \sqrt{2}$ 偽

$x > 3 \sqrt{2}$ 真

$x < - 3 \sqrt{2}$ 真

$- 3 \sqrt{2} < x < 3 \sqrt{2}$ 偽

$x > 3 \sqrt{2}$ 真

ステップ 7.5

解はすべての真の区間からなります。

$x \leq - 3 \sqrt{2}$ または $x \geq 3 \sqrt{2}$

ステップ 8

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, - 3 \sqrt{2}] \cup [3 \sqrt{2}, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \leq - 3 \sqrt{2}, x \geq 3 \sqrt{2}}$

ステップ 9

代数 例

代数例