代数例

$f (t) = 10 t e^{- \frac{5}{2} t}$

ステップ 1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1

$t$ と $\frac{5}{2}$ をまとめます。

$\frac{d}{d t} [10 t e^{- \frac{t \cdot 5}{2}}]$

ステップ 1.2

$5$ を $t$ の左に移動させます。

$\frac{d}{d t} [10 t e^{- \frac{5 \cdot t}{2}}]$

ステップ 1.3

$10$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $10 t e^{- \frac{5 t}{2}}$ の微分係数は $10 \frac{d}{d t} [t e^{- \frac{5 t}{2}}]$ です。

$10 \frac{d}{d t} [t e^{- \frac{5 t}{2}}]$

ステップ 2

$f (t) = t$ および $g (t) = e^{- \frac{5 t}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$10 (t \frac{d}{d t} [e^{- \frac{5 t}{2}}] + e^{- \frac{5 t}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 3

$f (t) = e^{t}$ および $g (t) = - \frac{5 t}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- \frac{5 t}{2}$ とします。

$10 (t (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- \frac{5 t}{2}]) + e^{- \frac{5 t}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$10 (t (e^{u} \frac{d}{d t} [- \frac{5 t}{2}]) + e^{- \frac{5 t}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $- \frac{5 t}{2}$ で置き換えます。

$10 (t (e^{- \frac{5 t}{2}} \frac{d}{d t} [- \frac{5 t}{2}]) + e^{- \frac{5 t}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$- \frac{5}{2}$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- \frac{5 t}{2}$ の微分係数は $- \frac{5}{2} \frac{d}{d t} [t]$ です。

$10 (t (e^{- \frac{5 t}{2}} (- \frac{5}{2} \frac{d}{d t} [t])) + e^{- \frac{5 t}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 4.2

分数をまとめます。

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ステップ 4.2.1

$e^{- \frac{5 t}{2}}$ と $\frac{5}{2}$ をまとめます。

$10 (t (- \frac{e^{- \frac{5 t}{2}} \cdot 5}{2} \frac{d}{d t} [t]) + e^{- \frac{5 t}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 4.2.2

$5$ を $e^{- \frac{5 t}{2}}$ の左に移動させます。

$10 (t (- \frac{5 \cdot e^{- \frac{5 t}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [t]) + e^{- \frac{5 t}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 4.2.3

$t$ と $\frac{5 e^{- \frac{5 t}{2}}}{2}$ をまとめます。

$10 (- \frac{t (5 e^{- \frac{5 t}{2}})}{2} \frac{d}{d t} [t] + e^{- \frac{5 t}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$10 (- \frac{t (5 e^{- \frac{5 t}{2}})}{2} \cdot 1 + e^{- \frac{5 t}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 4.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$10 (- \frac{t (5 e^{- \frac{5 t}{2}})}{2} + e^{- \frac{5 t}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 4.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$10 (- \frac{t (5 e^{- \frac{5 t}{2}})}{2} + e^{- \frac{5 t}{2}} \cdot 1)$

ステップ 4.6

$e^{- \frac{5 t}{2}}$ に $1$ をかけます。

$10 (- \frac{t (5 e^{- \frac{5 t}{2}})}{2} + e^{- \frac{5 t}{2}})$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$10 (- \frac{t (5 e^{- \frac{5 t}{2}})}{2}) + 10 e^{- \frac{5 t}{2}}$

ステップ 5.2

項をまとめます。

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ステップ 5.2.1

$- 1$ に $10$ をかけます。

$- 10 \frac{t (5 e^{- \frac{5 t}{2}})}{2} + 10 e^{- \frac{5 t}{2}}$

ステップ 5.2.2

$- 10$ と $\frac{t (5 e^{- \frac{5 t}{2}})}{2}$ をまとめます。

$\frac{- 10 (t (5 e^{- \frac{5 t}{2}}))}{2} + 10 e^{- \frac{5 t}{2}}$

ステップ 5.2.3

$5$ に $- 10$ をかけます。

$\frac{- 50 (t (e^{- \frac{5 t}{2}}))}{2} + 10 e^{- \frac{5 t}{2}}$

ステップ 5.2.4

$- 50$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.4.1

$2$ を $- 50 t e^{- \frac{5 t}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 25 t e^{- \frac{5 t}{2}})}{2} + 10 e^{- \frac{5 t}{2}}$

ステップ 5.2.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 25 t e^{- \frac{5 t}{2}})}{2 (1)} + 10 e^{- \frac{5 t}{2}}$

ステップ 5.2.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- 25 t e^{- \frac{5 t}{2}})}{2 \cdot 1} + 10 e^{- \frac{5 t}{2}}$

ステップ 5.2.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 25 t e^{- \frac{5 t}{2}}}{1} + 10 e^{- \frac{5 t}{2}}$

ステップ 5.2.4.2.4

$- 25 t e^{- \frac{5 t}{2}}$ を $1$ で割ります。

$- 25 t e^{- \frac{5 t}{2}} + 10 e^{- \frac{5 t}{2}}$

ステップ 5.3

項を並べ替えます。

$- 25 e^{- \frac{5 t}{2}} t + 10 e^{- \frac{5 t}{2}}$

ステップ 5.4

$- 25 e^{- \frac{5 t}{2}} t + 10 e^{- \frac{5 t}{2}}$ の因数を並べ替えます。

$- 25 t e^{- \frac{5 t}{2}} + 10 e^{- \frac{5 t}{2}}$

代数 例

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