代数例

$y = \ln (e^{- x} + x e^{- x})$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = e^{- x} + x e^{- x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $e^{- x} + x e^{- x}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{- x} + x e^{- x}]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [e^{- x} + x e^{- x}]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $e^{- x} + x e^{- x}$ で置き換えます。

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} \frac{d}{d x} [e^{- x} + x e^{- x}]$

ステップ 2

総和則では、 $e^{- x} + x e^{- x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ です。

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

ステップ 3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $- x$ とします。

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

ステップ 3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

ステップ 3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

ステップ 4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

ステップ 4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

ステップ 4.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

ステップ 4.3.2

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- 1 \cdot e^{- x} + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

ステップ 4.3.3

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

ステップ 5

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{- x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 6

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $- x$ とします。

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + x (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 6.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ は $a^{u_{3}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + x (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 6.3

$u_{3}$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 7

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 7.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 7.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 7.3.2

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 7.3.3

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 7.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1)$

ステップ 7.5

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.1

$e^{- x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x} + x (- e^{- x}) + e^{- x})$

ステップ 7.5.2

$- e^{- x}$ と $e^{- x}$ をたし算します。

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (x (- e^{- x}) + 0)$

ステップ 7.5.3

$x (- e^{- x})$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} (x (- e^{- x}))$

ステップ 7.5.4

$x$ と $\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}}$ をまとめます。

$\frac{x}{e^{- x} + x e^{- x}} (- e^{- x})$

ステップ 7.5.5

$\frac{x}{e^{- x} + x e^{- x}}$ と $e^{- x}$ をまとめます。

$- \frac{x e^{- x}}{e^{- x} + x e^{- x}}$

ステップ 8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$e^{- x}$ を $e^{- x} + x e^{- x}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

$1$ を掛けます。

$- \frac{x e^{- x}}{e^{- x} \cdot 1 + x e^{- x}}$

ステップ 8.1.2

$e^{- x}$ を $x e^{- x}$ で因数分解します。

$- \frac{x e^{- x}}{e^{- x} \cdot 1 + e^{- x} x}$

ステップ 8.1.3

$e^{- x}$ を $e^{- x} \cdot 1 + e^{- x} x$ で因数分解します。

$- \frac{x e^{- x}}{e^{- x} (1 + x)}$

ステップ 8.2

$e^{- x}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

共通因数を約分します。

$- \frac{x e^{- x}}{e^{- x} (1 + x)}$

ステップ 8.2.2

式を書き換えます。

$- \frac{x}{1 + x}$

代数 例

代数例