代数例

$\frac{1}{9} x^{4} - \frac{4}{9} x^{3}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $\frac{1}{9} x^{4} - \frac{4}{9} x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$\frac{1}{9}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{9} x^{4}$ の微分係数は $\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$

ステップ 1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{9} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$

ステップ 1.2.3

$4$ と $\frac{1}{9}$ をまとめます。

$\frac{4}{9} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$

ステップ 1.2.4

$\frac{4}{9}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- \frac{4}{9}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{4}{9} x^{3}$ の微分係数は $- \frac{4}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4}{9} (3 x^{2})$

ステップ 1.3.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{4 x^{3}}{9} - 3 (\frac{4}{9}) x^{2}$

ステップ 1.3.4

$- 3$ と $\frac{4}{9}$ をまとめます。

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{- 3 \cdot 4}{9} x^{2}$

ステップ 1.3.5

$- 3$ に $4$ をかけます。

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{- 12}{9} x^{2}$

ステップ 1.3.6

$\frac{- 12}{9}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{- 12 x^{2}}{9}$

ステップ 1.3.7

$- 12$ と $9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.7.1

$3$ を $- 12 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{3 (- 4 x^{2})}{9}$

ステップ 1.3.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.7.2.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{3 (- 4 x^{2})}{3 (3)}$

ステップ 1.3.7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{3 (- 4 x^{2})}{3 \cdot 3}$

ステップ 1.3.7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{- 4 x^{2}}{3}$

ステップ 1.3.8

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{3}}{9}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{2}}{3}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{4 x^{3}}{9}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x^{2}}{3})$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{3}}{9}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$\frac{4}{9}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{4 x^{3}}{9}$ の微分係数は $\frac{4}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = \frac{4}{9} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x^{2}}{3})$

ステップ 2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{4}{9} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x^{2}}{3})$

ステップ 2.2.3

$3$ と $\frac{4}{9}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{3 \cdot 4}{9} x^{2} + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x^{2}}{3})$

ステップ 2.2.4

$3$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{12}{9} x^{2} + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x^{2}}{3})$

ステップ 2.2.5

$\frac{12}{9}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{12 x^{2}}{9} + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x^{2}}{3})$

ステップ 2.2.6

$12$ と $9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.1

$3$ を $12 x^{2}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{3 (4 x^{2})}{9} + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x^{2}}{3})$

ステップ 2.2.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.2.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{3 (4 x^{2})}{3 (3)} + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x^{2}}{3})$

ステップ 2.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{3 (4 x^{2})}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x^{2}}{3})$

ステップ 2.2.6.2.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x^{2}}{3})$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{2}}{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- \frac{4}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{4 x^{2}}{3}$ の微分係数は $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = \frac{4 x^{2}}{3} - \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} x^{2}$

ステップ 2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{4 x^{2}}{3} - \frac{4}{3} \cdot (2 x)$

ステップ 2.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{2}}{3} - 2 (\frac{4}{3}) \cdot x$

ステップ 2.3.4

$- 2$ と $\frac{4}{3}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{- 2 \cdot 4}{3} x$

ステップ 2.3.5

$- 2$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{- 8}{3} x$

ステップ 2.3.6

$\frac{- 8}{3}$ と $x$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{- 8 x}{3}$

ステップ 2.3.7

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{2}}{3} - \frac{8 x}{3}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

総和則では、 $\frac{1}{9} x^{4} - \frac{4}{9} x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$\frac{1}{9}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{9} x^{4}$ の微分係数は $\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{9} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$

ステップ 4.1.2.3

$4$ と $\frac{1}{9}$ をまとめます。

$\frac{4}{9} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$

ステップ 4.1.2.4

$\frac{4}{9}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{4}{9} x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$- \frac{4}{9}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{4}{9} x^{3}$ の微分係数は $- \frac{4}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4}{9} (3 x^{2})$

ステップ 4.1.3.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{4 x^{3}}{9} - 3 (\frac{4}{9}) x^{2}$

ステップ 4.1.3.4

$- 3$ と $\frac{4}{9}$ をまとめます。

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{- 3 \cdot 4}{9} x^{2}$

ステップ 4.1.3.5

$- 3$ に $4$ をかけます。

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{- 12}{9} x^{2}$

ステップ 4.1.3.6

$\frac{- 12}{9}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{- 12 x^{2}}{9}$

ステップ 4.1.3.7

$- 12$ と $9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.7.1

$3$ を $- 12 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{3 (- 4 x^{2})}{9}$

ステップ 4.1.3.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.7.2.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{3 (- 4 x^{2})}{3 (3)}$

ステップ 4.1.3.7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{3 (- 4 x^{2})}{3 \cdot 3}$

ステップ 4.1.3.7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{- 4 x^{2}}{3}$

ステップ 4.1.3.8

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3}$ です。

$\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3} = 0$

ステップ 5.2

$\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3} = 0$ の各項に $9$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3} = 0$ の各項に $9$ を掛けます。

$\frac{4 x^{3}}{9} \cdot 9 - \frac{4 x^{2}}{3} \cdot 9 = 0 \cdot 9$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1

$9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x^{3}}{9} \cdot 9 - \frac{4 x^{2}}{3} \cdot 9 = 0 \cdot 9$

ステップ 5.2.2.1.1.2

式を書き換えます。

$4 x^{3} - \frac{4 x^{2}}{3} \cdot 9 = 0 \cdot 9$

ステップ 5.2.2.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.2.1

$- \frac{4 x^{2}}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$4 x^{3} + \frac{- 4 x^{2}}{3} \cdot 9 = 0 \cdot 9$

ステップ 5.2.2.1.2.2

$3$ を $9$ で因数分解します。

$4 x^{3} + \frac{- 4 x^{2}}{3} \cdot (3 (3)) = 0 \cdot 9$

ステップ 5.2.2.1.2.3

共通因数を約分します。

$4 x^{3} + \frac{- 4 x^{2}}{3} \cdot (3 \cdot 3) = 0 \cdot 9$

ステップ 5.2.2.1.2.4

式を書き換えます。

$4 x^{3} - 4 x^{2} \cdot 3 = 0 \cdot 9$

ステップ 5.2.2.1.3

$3$ に $- 4$ をかけます。

$4 x^{3} - 12 x^{2} = 0 \cdot 9$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$0$ に $9$ をかけます。

$4 x^{3} - 12 x^{2} = 0$

ステップ 5.3

$4 x^{2}$ を $4 x^{3} - 12 x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$4 x^{2}$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$4 x^{2} (x) - 12 x^{2} = 0$

ステップ 5.3.2

$4 x^{2}$ を $- 12 x^{2}$ で因数分解します。

$4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 3) = 0$

ステップ 5.3.3

$4 x^{2}$ を $4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 3)$ で因数分解します。

$4 x^{2} (x - 3) = 0$

ステップ 5.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} = 0$

$x - 3 = 0$

ステップ 5.5

$x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} = 0$

ステップ 5.5.2

$x$ について $x^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 5.5.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 5.5.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 5.5.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 5.6

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 5.6.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 5.7

最終解は $4 x^{2} (x - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 3$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 0, 3$

ステップ 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{4 {(0)}^{2}}{3} - \frac{8 (0)}{3}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0}{3}$

ステップ 9.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{4 \cdot 0 - 8 \cdot 0}{3}$

ステップ 9.2.2

$4$ に $0$ をかけます。

$\frac{0 - 8 \cdot 0}{3}$

ステップ 9.2.3

$- 8$ に $0$ をかけます。

$\frac{0 + 0}{3}$

ステップ 9.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{3}$

ステップ 9.3.2

$0$ を $3$ で割ります。

$0$

ステップ 10

$0$ をもつ点が1点以上または未定義の二次導関数があるので、一次導関数検定を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

ステップ 10.2

一次導関数 $\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3}$ の区間 $(- \infty, 0)$ から $- 2$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f' (- 2) = \frac{4 {(- 2)}^{3}}{9} - \frac{4 {(- 2)}^{2}}{3}$

ステップ 10.2.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1.1

$- 2$ を $3$ 乗します。

$f' (- 2) = \frac{4 \cdot - 8}{9} - \frac{4 {(- 2)}^{2}}{3}$

ステップ 10.2.2.1.2

$4$ に $- 8$ をかけます。

$f' (- 2) = \frac{- 32}{9} - \frac{4 {(- 2)}^{2}}{3}$

ステップ 10.2.2.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$f' (- 2) = - \frac{32}{9} - \frac{4 {(- 2)}^{2}}{3}$

ステップ 10.2.2.1.4

$- 2$ を $2$ 乗します。

$f' (- 2) = - \frac{32}{9} - \frac{4 \cdot 4}{3}$

ステップ 10.2.2.1.5

$4$ に $4$ をかけます。

$f' (- 2) = - \frac{32}{9} - \frac{16}{3}$

ステップ 10.2.2.2

$- \frac{16}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f' (- 2) = - \frac{32}{9} - \frac{16}{3} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 10.2.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $9$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.3.1

$\frac{16}{3}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f' (- 2) = - \frac{32}{9} - \frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 3}$

ステップ 10.2.2.3.2

$3$ に $3$ をかけます。

$f' (- 2) = - \frac{32}{9} - \frac{16 \cdot 3}{9}$

ステップ 10.2.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f' (- 2) = \frac{- 32 - 16 \cdot 3}{9}$

ステップ 10.2.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.5.1

$- 16$ に $3$ をかけます。

$f' (- 2) = \frac{- 32 - 48}{9}$

ステップ 10.2.2.5.2

$- 32$ から $48$ を引きます。

$f' (- 2) = \frac{- 80}{9}$

ステップ 10.2.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$f' (- 2) = - \frac{80}{9}$

ステップ 10.2.2.7

最終的な答えは $- \frac{80}{9}$ です。

$- \frac{80}{9}$

ステップ 10.3

一次導関数 $\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3}$ の区間 $(0, 3)$ から $2$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f' (2) = \frac{4 {(2)}^{3}}{9} - \frac{4 {(2)}^{2}}{3}$

ステップ 10.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1.1.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f' (2) = \frac{2^{2} \cdot 2^{3}}{9} - \frac{4 {(2)}^{2}}{3}$

ステップ 10.3.2.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (2) = \frac{2^{2 + 3}}{9} - \frac{4 {(2)}^{2}}{3}$

ステップ 10.3.2.1.1.3

$2$ と $3$ をたし算します。

$f' (2) = \frac{2^{5}}{9} - \frac{4 {(2)}^{2}}{3}$

ステップ 10.3.2.1.2

$2$ を $5$ 乗します。

$f' (2) = \frac{32}{9} - \frac{4 {(2)}^{2}}{3}$

ステップ 10.3.2.1.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1.3.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f' (2) = \frac{32}{9} - \frac{2^{2} \cdot 2^{2}}{3}$

ステップ 10.3.2.1.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (2) = \frac{32}{9} - \frac{2^{2 + 2}}{3}$

ステップ 10.3.2.1.3.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$f' (2) = \frac{32}{9} - \frac{2^{4}}{3}$

ステップ 10.3.2.1.4

$2$ を $4$ 乗します。

$f' (2) = \frac{32}{9} - \frac{16}{3}$

ステップ 10.3.2.2

$- \frac{16}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f' (2) = \frac{32}{9} - \frac{16}{3} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 10.3.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $9$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 10.3.2.3.1

$\frac{16}{3}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f' (2) = \frac{32}{9} - \frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 3}$

ステップ 10.3.2.3.2

$3$ に $3$ をかけます。

$f' (2) = \frac{32}{9} - \frac{16 \cdot 3}{9}$

ステップ 10.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f' (2) = \frac{32 - 16 \cdot 3}{9}$

ステップ 10.3.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 10.3.2.5.1

$- 16$ に $3$ をかけます。

$f' (2) = \frac{32 - 48}{9}$

ステップ 10.3.2.5.2

$32$ から $48$ を引きます。

$f' (2) = \frac{- 16}{9}$

ステップ 10.3.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$f' (2) = - \frac{16}{9}$

ステップ 10.3.2.7

最終的な答えは $- \frac{16}{9}$ です。

$- \frac{16}{9}$

ステップ 10.4

一次導関数 $\frac{4 x^{3}}{9} - \frac{4 x^{2}}{3}$ の区間 $(3, \infty)$ から $6$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 10.4.1

式の変数 $x$ を $6$ で置換えます。

$f' (6) = \frac{4 {(6)}^{3}}{9} - \frac{4 {(6)}^{2}}{3}$

ステップ 10.4.2

結果を簡約します。

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ステップ 10.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 10.4.2.1.1

$6$ を $3$ 乗します。

$f' (6) = \frac{4 \cdot 216}{9} - \frac{4 {(6)}^{2}}{3}$

ステップ 10.4.2.1.2

$4$ に $216$ をかけます。

$f' (6) = \frac{864}{9} - \frac{4 {(6)}^{2}}{3}$

ステップ 10.4.2.1.3

$864$ を $9$ で割ります。

$f' (6) = 96 - \frac{4 {(6)}^{2}}{3}$

ステップ 10.4.2.1.4

$6$ を $2$ 乗します。

$f' (6) = 96 - \frac{4 \cdot 36}{3}$

ステップ 10.4.2.1.5

$4$ に $36$ をかけます。

$f' (6) = 96 - \frac{144}{3}$

ステップ 10.4.2.1.6

$144$ を $3$ で割ります。

$f' (6) = 96 - 1 \cdot 48$

ステップ 10.4.2.1.7

$- 1$ に $48$ をかけます。

$f' (6) = 96 - 48$

ステップ 10.4.2.2

$96$ から $48$ を引きます。

$f' (6) = 48$

ステップ 10.4.2.3

最終的な答えは $48$ です。

$48$

ステップ 10.5

$x = 0$ の周囲で一次導関数の符号が変化しなかったので、これは極大値または極小値ではありません。

極大値または極小値ではありません

ステップ 10.6

$x = 3$ の周囲で一次導関数の符号が負から正に変化したので、 $x = 3$ は極小値です。

$x = 3$ は極小値です

ステップ 11

代数 例

代数例