代数例

$f (x) = 7 x^{2} - x + 1$

ステップ 1

$f (x) = 7 x^{2} - x + 1$ を方程式で書きます。

$y = 7 x^{2} - x + 1$

ステップ 2

$x$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$7 x^{2} - x + 1 = y$

ステップ 3

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$7 x^{2} - x = y - 1$

ステップ 4

平方を完成させます。

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ステップ 4.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 7$

$b = - 1$

$c = 0 = y - 1$

ステップ 4.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e = y - 1$

ステップ 4.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 4.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 1}{2 \cdot 7}$

ステップ 4.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.2.1

$2$ に $7$ をかけます。

$d = \frac{- 1}{14}$

ステップ 4.3.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$d = - \frac{1}{14}$

ステップ 4.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 4.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 \cdot 7}$

ステップ 4.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 4.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.4.2.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 7}$

ステップ 4.4.2.1.2

$4$ に $7$ をかけます。

$e = 0 - \frac{1}{28}$

ステップ 4.4.2.2

$0$ から $\frac{1}{28}$ を引きます。

$e = - \frac{1}{28}$

ステップ 4.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $7 {(x - \frac{1}{14})}^{2} - \frac{1}{28}$ に代入します。

$7 {(x - \frac{1}{14})}^{2} - \frac{1}{28} = y - 1$

ステップ 5

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺に $\frac{1}{28}$ を足します。

$7 {(x - \frac{1}{14})}^{2} = y - 1 + \frac{1}{28}$

ステップ 5.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{28}{28}$ を掛けます。

$7 {(x - \frac{1}{14})}^{2} = y - 1 \cdot \frac{28}{28} + \frac{1}{28}$

ステップ 5.3

$- 1$ と $\frac{28}{28}$ をまとめます。

$7 {(x - \frac{1}{14})}^{2} = y + \frac{- 1 \cdot 28}{28} + \frac{1}{28}$

ステップ 5.4

公分母の分子をまとめます。

$7 {(x - \frac{1}{14})}^{2} = y + \frac{- 1 \cdot 28 + 1}{28}$

ステップ 5.5

分子を簡約します。

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ステップ 5.5.1

$- 1$ に $28$ をかけます。

$7 {(x - \frac{1}{14})}^{2} = y + \frac{- 28 + 1}{28}$

ステップ 5.5.2

$- 28$ と $1$ をたし算します。

$7 {(x - \frac{1}{14})}^{2} = y + \frac{- 27}{28}$

ステップ 5.6

分数の前に負数を移動させます。

$7 {(x - \frac{1}{14})}^{2} = y - \frac{27}{28}$

ステップ 6

$7 {(x - \frac{1}{14})}^{2} = y - \frac{27}{28}$ の各項を $7$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.1

$7 {(x - \frac{1}{14})}^{2} = y - \frac{27}{28}$ の各項を $7$ で割ります。

$\frac{7 {(x - \frac{1}{14})}^{2}}{7} = \frac{y}{7} + \frac{- \frac{27}{28}}{7}$

ステップ 6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{7 {(x - \frac{1}{14})}^{2}}{7} = \frac{y}{7} + \frac{- \frac{27}{28}}{7}$

ステップ 6.2.1.2

${(x - \frac{1}{14})}^{2}$ を $1$ で割ります。

${(x - \frac{1}{14})}^{2} = \frac{y}{7} + \frac{- \frac{27}{28}}{7}$

ステップ 6.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.3.1.1

分子に分母の逆数を掛けます。

${(x - \frac{1}{14})}^{2} = \frac{y}{7} - \frac{27}{28} \cdot \frac{1}{7}$

ステップ 6.3.1.2

$- \frac{27}{28} \cdot \frac{1}{7}$ を掛けます。

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ステップ 6.3.1.2.1

$\frac{1}{7}$ に $\frac{27}{28}$ をかけます。

${(x - \frac{1}{14})}^{2} = \frac{y}{7} - \frac{27}{7 \cdot 28}$

ステップ 6.3.1.2.2

$7$ に $28$ をかけます。

${(x - \frac{1}{14})}^{2} = \frac{y}{7} - \frac{27}{196}$

ステップ 7

因数分解。

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ステップ 7.1

$\frac{y}{7}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{28}{28}$ を掛けます。

${(x - \frac{1}{14})}^{2} = \frac{y}{7} \cdot \frac{28}{28} - \frac{27}{196}$

ステップ 7.2

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $196$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 7.2.1

$\frac{y}{7}$ に $\frac{28}{28}$ をかけます。

${(x - \frac{1}{14})}^{2} = \frac{y \cdot 28}{7 \cdot 28} - \frac{27}{196}$

ステップ 7.2.2

$7$ に $28$ をかけます。

${(x - \frac{1}{14})}^{2} = \frac{y \cdot 28}{196} - \frac{27}{196}$

ステップ 7.3

公分母の分子をまとめます。

${(x - \frac{1}{14})}^{2} = \frac{y \cdot 28 - 27}{196}$

ステップ 7.4

$28$ を $y$ の左に移動させます。

${(x - \frac{1}{14})}^{2} = \frac{28 y - 27}{196}$

ステップ 7.5

項を並べ替えます。

${(x - \frac{1}{14})}^{2} = \frac{1}{196} (28 y - 27)$

代数 例

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