代数例

$x - 2 > \frac{1}{x}$

ステップ 1

$1 - \sqrt{2} < x < 0 or x > 1 + \sqrt{2}$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

両辺に $x$ を掛けます。

$(x - 2) x = \frac{1}{x} x$

ステップ 1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

$(x - 2) x$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$x \cdot x - 2 x = \frac{1}{x} x$

ステップ 1.2.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} - 2 x = \frac{1}{x} x$

ステップ 1.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$x^{2} - 2 x = \frac{1}{x} x$

ステップ 1.2.2.1.2

式を書き換えます。

$x^{2} - 2 x = 1$

ステップ 1.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x^{2} - 2 x - 1 = 0$

ステップ 1.3.2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 1.3.3

$a = 1$ 、 $b = - 2$ 、および $c = - 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.4.1.2.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.4.1.3

$4$ と $4$ をたし算します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.4.1.4

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1.4.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.4.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.4.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 1.3.4.3

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ を簡約します。

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

ステップ 1.3.5

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.5.1.2.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.5.1.3

$4$ と $4$ をたし算します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.5.1.4

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.1.4.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.5.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.5.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 1.3.5.3

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ を簡約します。

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

ステップ 1.3.5.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = 1 + \sqrt{2}$

ステップ 1.3.6

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.6.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.6.1.2.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.6.1.3

$4$ と $4$ をたし算します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.6.1.4

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.1.4.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.6.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.6.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.6.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 1.3.6.3

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ を簡約します。

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

ステップ 1.3.6.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = 1 - \sqrt{2}$

ステップ 1.3.7

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

ステップ 1.4

$x - 2 - \frac{1}{x}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$\frac{1}{x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 1.4.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 1.5

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 1 - \sqrt{2}$

$1 - \sqrt{2} < x < 0$

$0 < x < 1 + \sqrt{2}$

$x > 1 + \sqrt{2}$

ステップ 1.6

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

区間 $x < 1 - \sqrt{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1.1

区間 $x < 1 - \sqrt{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 3$

ステップ 1.6.1.2

$x$ を元の不等式の $- 3$ で置き換えます。

$(- 3) - 2 > \frac{1}{- 3}$

ステップ 1.6.1.3

左辺 $- 5$ は右辺 $- 0.\overline{3}$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 1.6.2

区間 $1 - \sqrt{2} < x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.2.1

区間 $1 - \sqrt{2} < x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 0.21$

ステップ 1.6.2.2

$x$ を元の不等式の $- 0.21$ で置き換えます。

$(- 0.21) - 2 > \frac{1}{- 0.21}$

ステップ 1.6.2.3

左辺 $- 2.21$ は右辺 $- 4.\overline{761904}$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 1.6.3

区間 $0 < x < 1 + \sqrt{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.3.1

区間 $0 < x < 1 + \sqrt{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 1$

ステップ 1.6.3.2

$x$ を元の不等式の $1$ で置き換えます。

$(1) - 2 > \frac{1}{1}$

ステップ 1.6.3.3

左辺 $- 1$ は右辺 $1$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 1.6.4

区間 $x > 1 + \sqrt{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.4.1

区間 $x > 1 + \sqrt{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 5$

ステップ 1.6.4.2

$x$ を元の不等式の $5$ で置き換えます。

$(5) - 2 > \frac{1}{5}$

ステップ 1.6.4.3

左辺 $3$ は右辺 $0.2$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 1.6.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 1 - \sqrt{2}$ 偽

$1 - \sqrt{2} < x < 0$ 真

$0 < x < 1 + \sqrt{2}$ 偽

$x > 1 + \sqrt{2}$ 真

$x < 1 - \sqrt{2}$ 偽

$1 - \sqrt{2} < x < 0$ 真

$0 < x < 1 + \sqrt{2}$ 偽

$x > 1 + \sqrt{2}$ 真

ステップ 1.7

解はすべての真の区間からなります。

$1 - \sqrt{2} < x < 0$ または $x > 1 + \sqrt{2}$

ステップ 2

不等式 $1 - \sqrt{2} < x < 0 or x > 1 + \sqrt{2}$ を利用して集合の表記をつくります。

${x | 1 - \sqrt{2} < x < 0 or x > 1 + \sqrt{2}}$

ステップ 3

代数 例

代数例