代数例

$q (3) = \frac{1}{x^{2} - 9}$

ステップ 1

方程式を $\frac{1}{x^{2} - 9} = q (3)$ として書き換えます。

$\frac{1}{x^{2} - 9} = q (3)$

ステップ 2

各項を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{x^{2} - 3^{2}} = q (3)$

ステップ 2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 3$ です。

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} = q (3)$

ステップ 3

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$(x + 3) (x - 3), 1$

ステップ 3.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$(x + 3) (x - 3)$

ステップ 4

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} = q (3)$ の各項に $(x + 3) (x - 3)$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} = q (3)$ の各項に $(x + 3) (x - 3)$ を掛けます。

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} ((x + 3) (x - 3)) = q (3) ((x + 3) (x - 3))$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$(x + 3) (x - 3)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} ((x + 3) (x - 3)) = q (3) ((x + 3) (x - 3))$

ステップ 4.2.1.2

式を書き換えます。

$1 = q (3) ((x + 3) (x - 3))$

ステップ 4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$3$ を $q$ の左に移動させます。

$1 = 3 q ((x + 3) (x - 3))$

ステップ 4.3.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 3) (x - 3)$ を展開します。

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ステップ 4.3.2.1

分配則を当てはめます。

$1 = 3 q (x (x - 3) + 3 (x - 3))$

ステップ 4.3.2.2

分配則を当てはめます。

$1 = 3 q (x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3))$

ステップ 4.3.2.3

分配則を当てはめます。

$1 = 3 q (x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3)$

ステップ 4.3.3

項を簡約します。

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ステップ 4.3.3.1

$x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.3.3.1.1

$x \cdot - 3$ と $3 x$ について因数を並べ替えます。

$1 = 3 q (x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3)$

ステップ 4.3.3.1.2

$- 3 x$ と $3 x$ をたし算します。

$1 = 3 q (x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3)$

ステップ 4.3.3.1.3

$x \cdot x$ と $0$ をたし算します。

$1 = 3 q (x \cdot x + 3 \cdot - 3)$

ステップ 4.3.3.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.3.2.1

$x$ に $x$ をかけます。

$1 = 3 q (x^{2} + 3 \cdot - 3)$

ステップ 4.3.3.2.2

$3$ に $- 3$ をかけます。

$1 = 3 q (x^{2} - 9)$

ステップ 4.3.3.3

両辺を掛けて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.3.1

分配則を当てはめます。

$1 = 3 q x^{2} + 3 q \cdot - 9$

ステップ 4.3.3.3.2

$- 9$ に $3$ をかけます。

$1 = 3 q x^{2} - 27 q$

ステップ 5

方程式を解きます。

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ステップ 5.1

方程式を $3 q x^{2} - 27 q = 1$ として書き換えます。

$3 q x^{2} - 27 q = 1$

ステップ 5.2

方程式の両辺に $27 q$ を足します。

$3 q x^{2} = 1 + 27 q$

ステップ 5.3

$3 q x^{2} = 1 + 27 q$ の各項を $3 q$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$3 q x^{2} = 1 + 27 q$ の各項を $3 q$ で割ります。

$\frac{3 q x^{2}}{3 q} = \frac{1}{3 q} + \frac{27 q}{3 q}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 q x^{2}}{3 q} = \frac{1}{3 q} + \frac{27 q}{3 q}$

ステップ 5.3.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{q x^{2}}{q} = \frac{1}{3 q} + \frac{27 q}{3 q}$

ステップ 5.3.2.2

$q$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{q x^{2}}{q} = \frac{1}{3 q} + \frac{27 q}{3 q}$

ステップ 5.3.2.2.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{1}{3 q} + \frac{27 q}{3 q}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.1

$27$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.1.1

$3$ を $27 q$ で因数分解します。

$x^{2} = \frac{1}{3 q} + \frac{3 (9 q)}{3 q}$

ステップ 5.3.3.1.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.1.1.2.1

$3$ を $3 q$ で因数分解します。

$x^{2} = \frac{1}{3 q} + \frac{3 (9 q)}{3 (q)}$

ステップ 5.3.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$x^{2} = \frac{1}{3 q} + \frac{3 (9 q)}{3 q}$

ステップ 5.3.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$x^{2} = \frac{1}{3 q} + \frac{9 q}{q}$

ステップ 5.3.3.1.2

$q$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$x^{2} = \frac{1}{3 q} + \frac{9 q}{q}$

ステップ 5.3.3.1.2.2

$9$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{1}{3 q} + 9$

ステップ 5.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3 q} + 9}$

ステップ 5.5

$\pm \sqrt{\frac{1}{3 q} + 9}$ を簡約します。

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ステップ 5.5.1

$9$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3 q}{3 q}$ を掛けます。

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3 q} + 9 \cdot \frac{3 q}{3 q}}$

ステップ 5.5.2

$9$ と $\frac{3 q}{3 q}$ をまとめます。

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3 q} + \frac{9 (3 q)}{3 q}}$

ステップ 5.5.3

公分母の分子をまとめます。

$x = \pm \sqrt{\frac{1 + 9 (3 q)}{3 q}}$

ステップ 5.5.4

$9$ に $3$ をかけます。

$x = \pm \sqrt{\frac{1 + 27 q}{3 q}}$

ステップ 5.5.5

$\sqrt{\frac{1 + 27 q}{3 q}}$ を $\frac{\sqrt{1 + 27 q}}{\sqrt{3 q}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q}}{\sqrt{3 q}}$

ステップ 5.5.6

$\frac{\sqrt{1 + 27 q}}{\sqrt{3 q}}$ に $\frac{\sqrt{3 q}}{\sqrt{3 q}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q}}{\sqrt{3 q}} \cdot \frac{\sqrt{3 q}}{\sqrt{3 q}}$

ステップ 5.5.7

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 5.5.7.1

$\frac{\sqrt{1 + 27 q}}{\sqrt{3 q}}$ に $\frac{\sqrt{3 q}}{\sqrt{3 q}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q} \sqrt{3 q}}{\sqrt{3 q} \sqrt{3 q}}$

ステップ 5.5.7.2

$\sqrt{3 q}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q} \sqrt{3 q}}{{\sqrt{3 q}}^{1} \sqrt{3 q}}$

ステップ 5.5.7.3

$\sqrt{3 q}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q} \sqrt{3 q}}{{\sqrt{3 q}}^{1} {\sqrt{3 q}}^{1}}$

ステップ 5.5.7.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q} \sqrt{3 q}}{{\sqrt{3 q}}^{1 + 1}}$

ステップ 5.5.7.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q} \sqrt{3 q}}{{\sqrt{3 q}}^{2}}$

ステップ 5.5.7.6

${\sqrt{3 q}}^{2}$ を $3 q$ に書き換えます。

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ステップ 5.5.7.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3 q}$ を ${(3 q)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q} \sqrt{3 q}}{{({(3 q)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 5.5.7.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q} \sqrt{3 q}}{{(3 q)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 5.5.7.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q} \sqrt{3 q}}{{(3 q)}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.5.7.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.7.6.4.1

共通因数を約分します。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q} \sqrt{3 q}}{{(3 q)}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.5.7.6.4.2

式を書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q} \sqrt{3 q}}{{(3 q)}^{1}}$

ステップ 5.5.7.6.5

簡約します。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + 27 q} \sqrt{3 q}}{3 q}$

ステップ 5.5.8

根の積の法則を使ってまとめます。

$x = \pm \frac{\sqrt{(1 + 27 q) \cdot 3 q}}{3 q}$

ステップ 5.5.9

$\pm \frac{\sqrt{(1 + 27 q) \cdot 3 q}}{3 q}$ の因数を並べ替えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3 q (1 + 27 q)}}{3 q}$

ステップ 5.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 5.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{\sqrt{3 q (1 + 27 q)}}{3 q}$

ステップ 5.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{\sqrt{3 q (1 + 27 q)}}{3 q}$

ステップ 5.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{\sqrt{3 q (1 + 27 q)}}{3 q}$

$x = - \frac{\sqrt{3 q (1 + 27 q)}}{3 q}$

$x = \frac{\sqrt{3 q (1 + 27 q)}}{3 q}$

$x = - \frac{\sqrt{3 q (1 + 27 q)}}{3 q}$

$x = \frac{\sqrt{3 q (1 + 27 q)}}{3 q}$

$x = - \frac{\sqrt{3 q (1 + 27 q)}}{3 q}$

ステップ 6

$q$ の関数として書き換えるために、方程式を書き、等号の一辺に $x$ が単独であり、もう一辺に $q$ だけを含む式が来るようにします。

$f (q) = \frac{\sqrt{3 q (1 + 27 q)}}{3 q}, - \frac{\sqrt{3 q (1 + 27 q)}}{3 q}$

代数 例

代数例