代数例

$\log_{2} (\log_{2} (\sqrt{4 x})) = 1$

ステップ 1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\log_{2} (\log_{2} (\sqrt{4 x})) - 1 = 0$

ステップ 2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\log_{2} (\log_{2} (\sqrt{2^{2} x})) - 1 = 0$

ステップ 2.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\log_{2} (\log_{2} (2 \sqrt{x})) - 1 = 0$

ステップ 3

$\log_{2} (2 \sqrt{x})$ の偏角を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$2 \sqrt{x} \leq 0$

ステップ 4

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

不等式の左辺から根を削除するため、不等式の両辺を2乗します。

${(2 \sqrt{x})}^{2} \leq 0^{2}$

ステップ 4.2

不等式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

ステップ 4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

積の法則を $2 x^{\frac{1}{2}}$ に当てはめます。

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

ステップ 4.2.2.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

ステップ 4.2.2.1.3

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

ステップ 4.2.2.1.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

ステップ 4.2.2.1.3.2.2

式を書き換えます。

$4 x^{1} \leq 0^{2}$

ステップ 4.2.2.1.4

簡約します。

$4 x \leq 0^{2}$

ステップ 4.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$4 x \leq 0$

ステップ 4.3

$4 x \leq 0$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$4 x \leq 0$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} \leq \frac{0}{4}$

ステップ 4.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} \leq \frac{0}{4}$

ステップ 4.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \leq \frac{0}{4}$

ステップ 4.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

$0$ を $4$ で割ります。

$x \leq 0$

ステップ 5

$\log_{2} (\log_{2} (2 \sqrt{x}))$ の偏角を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\log_{2} (2 \sqrt{x}) \leq 0$

ステップ 6

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

不等式を等式に変換します。

$\log_{2} (2 \sqrt{x}) = 0$

ステップ 6.2

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

対数の定義を利用して $\log_{2} (2 \sqrt{x}) = 0$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$2^{0} = 2 \sqrt{x}$

ステップ 6.2.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

方程式を $2 \sqrt{x} = 2^{0}$ として書き換えます。

$2 \sqrt{x} = 2^{0}$

ステップ 6.2.2.2

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${(2 \sqrt{x})}^{2} = {(2^{0})}^{2}$

ステップ 6.2.2.3

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2^{0})}^{2}$

ステップ 6.2.2.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.3.2.1

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.3.2.1.1

積の法則を $2 x^{\frac{1}{2}}$ に当てはめます。

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2^{0})}^{2}$

ステップ 6.2.2.3.2.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2^{0})}^{2}$

ステップ 6.2.2.3.2.1.3

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.3.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2^{0})}^{2}$

ステップ 6.2.2.3.2.1.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.3.2.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2^{0})}^{2}$

ステップ 6.2.2.3.2.1.3.2.2

式を書き換えます。

$4 x^{1} = {(2^{0})}^{2}$

ステップ 6.2.2.3.2.1.4

簡約します。

$4 x = {(2^{0})}^{2}$

ステップ 6.2.2.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.3.3.1

${(2^{0})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.3.3.1.1

${(2^{0})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.3.3.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 x = 2^{0 \cdot 2}$

ステップ 6.2.2.3.3.1.1.2

$0$ に $2$ をかけます。

$4 x = 2^{0}$

ステップ 6.2.2.3.3.1.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$4 x = 1$

ステップ 6.2.2.4

$4 x = 1$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.4.1

$4 x = 1$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

ステップ 6.2.2.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.4.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

ステップ 6.2.2.4.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{4}$

ステップ 6.3

$\log_{2} (2 \sqrt{x})$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$\log_{2} (2 \sqrt{x})$ の偏角を $0$ より大きいとして、式が定義である場所を求めます。

$2 \sqrt{x} > 0$

ステップ 6.3.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

不等式の左辺から根を削除するため、不等式の両辺を2乗します。

${(2 \sqrt{x})}^{2} > 0^{2}$

ステップ 6.3.2.2

不等式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

ステップ 6.3.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.2.1

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.2.1.1

積の法則を $2 x^{\frac{1}{2}}$ に当てはめます。

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

ステップ 6.3.2.2.2.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

ステップ 6.3.2.2.2.1.3

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

ステップ 6.3.2.2.2.1.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.2.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

ステップ 6.3.2.2.2.1.3.2.2

式を書き換えます。

$4 x^{1} > 0^{2}$

ステップ 6.3.2.2.2.1.4

簡約します。

$4 x > 0^{2}$

ステップ 6.3.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$4 x > 0$

ステップ 6.3.2.3

$4 x > 0$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.3.1

$4 x > 0$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} > \frac{0}{4}$

ステップ 6.3.2.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.3.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} > \frac{0}{4}$

ステップ 6.3.2.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x > \frac{0}{4}$

ステップ 6.3.2.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.3.3.1

$0$ を $4$ で割ります。

$x > 0$

ステップ 6.3.2.4

$2 \sqrt{x}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.4.1

$\sqrt{x}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x \geq 0$

ステップ 6.3.2.4.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$[0, \infty)$

ステップ 6.3.2.5

解はすべての真の区間からなります。

$x > 0$

ステップ 6.3.3

$\sqrt{x}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x \geq 0$

ステップ 6.3.4

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(0, \infty)$

ステップ 6.4

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{4}$

$x > \frac{1}{4}$

ステップ 6.5

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

区間 $x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1.1

区間 $x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 6.5.1.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

$\log_{2} (2 \sqrt{- 2}) \leq 0$

ステップ 6.5.1.3

左辺は右辺に等しくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 6.5.2

区間 $0 < x < \frac{1}{4}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.1

区間 $0 < x < \frac{1}{4}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0.12$

ステップ 6.5.2.2

$x$ を元の不等式の $0.12$ で置き換えます。

$\log_{2} (2 \sqrt{0.12}) \leq 0$

ステップ 6.5.2.3

左辺 $- 0.52944684$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 6.5.3

区間 $x > \frac{1}{4}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.3.1

区間 $x > \frac{1}{4}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 3$

ステップ 6.5.3.2

$x$ を元の不等式の $3$ で置き換えます。

$\log_{2} (2 \sqrt{3}) \leq 0$

ステップ 6.5.3.3

左辺 $1.79248125$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 6.5.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 0$ 偽

$0 < x < \frac{1}{4}$ 真

$x > \frac{1}{4}$ 偽

$x < 0$ 偽

$0 < x < \frac{1}{4}$ 真

$x > \frac{1}{4}$ 偽

ステップ 6.6

解はすべての真の区間からなります。

$0 < x \leq \frac{1}{4}$

ステップ 7

$\sqrt{x}$ の被開数を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x < 0$

ステップ 8

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x \leq \frac{1}{4}$

$(- \infty, \frac{1}{4}]$

ステップ 9

代数 例

代数例