代数例

$y = \sin (x) \cos (x)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\sin (x) \cos (x))$

ステップ 2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (y) = \sin (x)$ および $g (y) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\sin (x) \frac{d}{d y} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d y} [\sin (x)]$

ステップ 3.2

$f (y) = \cos (y)$ および $g (y) = x$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x$ とします。

$\sin (x) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d y} [x]) + \cos (x) \frac{d}{d y} [\sin (x)]$

ステップ 3.2.2

$u_{1}$ に関する $\cos (u_{1})$ の微分係数は $- \sin (u_{1})$ です。

$\sin (x) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d y} [x]) + \cos (x) \frac{d}{d y} [\sin (x)]$

ステップ 3.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$\sin (x) (- \sin (x) \frac{d}{d y} [x]) + \cos (x) \frac{d}{d y} [\sin (x)]$

ステップ 3.3

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$- (\sin^{1} (x) \sin (x)) \frac{d}{d y} [x] + \cos (x) \frac{d}{d y} [\sin (x)]$

ステップ 3.4

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) \frac{d}{d y} [x] + \cos (x) \frac{d}{d y} [\sin (x)]$

ステップ 3.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- {\sin (x)}^{1 + 1} \frac{d}{d y} [x] + \cos (x) \frac{d}{d y} [\sin (x)]$

ステップ 3.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \sin^{2} (x) \frac{d}{d y} [x] + \cos (x) \frac{d}{d y} [\sin (x)]$

ステップ 3.7

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$- \sin^{2} (x) x' + \cos (x) \frac{d}{d y} [\sin (x)]$

ステップ 3.8

$f (y) = \sin (y)$ および $g (y) = x$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.8.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x$ とします。

$- \sin^{2} (x) x' + \cos (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d y} [x])$

ステップ 3.8.2

$u_{2}$ に関する $\sin (u_{2})$ の微分係数は $\cos (u_{2})$ です。

$- \sin^{2} (x) x' + \cos (x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d y} [x])$

ステップ 3.8.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$- \sin^{2} (x) x' + \cos (x) (\cos (x) \frac{d}{d y} [x])$

ステップ 3.9

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$- \sin^{2} (x) x' + \cos^{1} (x) \cos (x) \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 3.10

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$- \sin^{2} (x) x' + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 3.11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \sin^{2} (x) x' + {\cos (x)}^{1 + 1} \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 3.12

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \sin^{2} (x) x' + \cos^{2} (x) \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 3.13

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$- \sin^{2} (x) x' + \cos^{2} (x) x'$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$1 = - \sin^{2} (x) x' + \cos^{2} (x) x'$

ステップ 5

$x'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式を $- \sin^{2} (x) x' + \cos^{2} (x) x' = 1$ として書き換えます。

$- \sin^{2} (x) x' + \cos^{2} (x) x' = 1$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$- \sin^{2} (x) x' + \cos^{2} (x) x'$ の因数を並べ替えます。

$- x' \sin^{2} (x) + x' \cos^{2} (x) = 1$

ステップ 5.3

$x'$ を $- x' \sin^{2} (x) + x' \cos^{2} (x)$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.1

$x'$ を $- x' \sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$x' (- 1 \sin^{2} (x)) + x' (\cos^{2} (x)) = 1$

ステップ 5.3.2

$x'$ を $x' \cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$x' (- 1 \sin^{2} (x)) + x' (\cos^{2} (x)) = 1$

ステップ 5.3.3

$x'$ を $x' (- 1 \sin^{2} (x)) + x' (\cos^{2} (x))$ で因数分解します。

$x' (- 1 \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) = 1$

ステップ 5.4

$- 1 \sin^{2} (x)$ と $\cos^{2} (x)$ を並べ替えます。

$x' (\cos^{2} (x) - 1 \sin^{2} (x)) = 1$

ステップ 5.5

因数分解。

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ステップ 5.5.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \cos (x)$ であり、 $b = \sin (x)$ です。

$x' ((\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))) = 1$

ステップ 5.5.2

不要な括弧を削除します。

$x' (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 1$

ステップ 5.6

$x' (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 1$ の各項を $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.6.1

$x' (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 1$ の各項を $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ で割ります。

$\frac{x' (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))} = \frac{1}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

ステップ 5.6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.6.2.1

$\cos (x) + \sin (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x' (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))} = \frac{1}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

ステップ 5.6.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{x' (\cos (x) - \sin (x))}{\cos (x) - \sin (x)} = \frac{1}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

ステップ 5.6.2.2

$\cos (x) - \sin (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.6.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x' (\cos (x) - \sin (x))}{\cos (x) - \sin (x)} = \frac{1}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

ステップ 5.6.2.2.2

$x'$ を $1$ で割ります。

$x' = \frac{1}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

ステップ 6

$x'$ を $\frac{d x}{d y}$ で置き換えます。

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

代数 例

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