代数例

$y = \frac{\ln (x)}{x^{8}}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\ln (x)}{x^{8}})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{8}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x^{8} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{{(x^{8})}^{2}}$

ステップ 3.2

${(x^{8})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{x^{8} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{8 \cdot 2}}$

ステップ 3.2.2

$8$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{8} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

ステップ 3.3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{x^{8} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

ステップ 3.4

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.4.1

$x^{8}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{\frac{x^{8}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

ステップ 3.4.2

$x^{8}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.1

$x$ を $x^{8}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{x \cdot x^{7}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

ステップ 3.4.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{x \cdot x^{7}}{x^{1}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

ステップ 3.4.2.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{x \cdot x^{7}}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

ステップ 3.4.2.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{x \cdot x^{7}}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

ステップ 3.4.2.2.4

式を書き換えます。

$\frac{\frac{x^{7}}{1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

ステップ 3.4.2.2.5

$x^{7}$ を $1$ で割ります。

$\frac{x^{7} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

ステップ 3.4.3

$n = 8$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{7} - \ln (x) (8 x^{7})}{x^{16}}$

ステップ 3.4.4

くくりだして簡約します。

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ステップ 3.4.4.1

$8$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{7} - 8 \ln (x) x^{7}}{x^{16}}$

ステップ 3.4.4.2

$x^{7}$ を $x^{7} - 8 \ln (x) x^{7}$ で因数分解します。

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ステップ 3.4.4.2.1

$1$ を掛けます。

$\frac{x^{7} \cdot 1 - 8 \ln (x) x^{7}}{x^{16}}$

ステップ 3.4.4.2.2

$x^{7}$ を $- 8 \ln (x) x^{7}$ で因数分解します。

$\frac{x^{7} \cdot 1 + x^{7} (- 8 \ln (x))}{x^{16}}$

ステップ 3.4.4.2.3

$x^{7}$ を $x^{7} \cdot 1 + x^{7} (- 8 \ln (x))$ で因数分解します。

$\frac{x^{7} (1 - 8 \ln (x))}{x^{16}}$

ステップ 3.5

共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.1

$x^{7}$ を $x^{16}$ で因数分解します。

$\frac{x^{7} (1 - 8 \ln (x))}{x^{7} x^{9}}$

ステップ 3.5.2

共通因数を約分します。

$\frac{x^{7} (1 - 8 \ln (x))}{x^{7} x^{9}}$

ステップ 3.5.3

式を書き換えます。

$\frac{1 - 8 \ln (x)}{x^{9}}$

ステップ 3.6

対数の中の $8$ を移動させて $- 8 \ln (x)$ を簡約します。

$\frac{1 - \ln (x^{8})}{x^{9}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{1 - \ln (x^{8})}{x^{9}}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - \ln (x^{8})}{x^{9}}$

代数 例

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