代数例

$\frac{8 x}{9 x - 1}$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = \frac{8 y}{9 y - 1}$

ステップ 2

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式に $9 y - 1$ を掛けます。

$(9 y - 1) (x) = (\frac{8 y}{9 y - 1}) (9 y - 1)$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$(9 y - 1) (x)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

分配則を当てはめます。

$9 y x - 1 x = (\frac{8 y}{9 y - 1}) (9 y - 1)$

ステップ 2.2.1.2

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$9 y x - x = (\frac{8 y}{9 y - 1}) (9 y - 1)$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$9 y - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

共通因数を約分します。

$9 y x - x = \frac{8 y}{9 y - 1} (9 y - 1)$

ステップ 2.3.1.2

式を書き換えます。

$9 y x - x = 8 y$

ステップ 2.4

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

方程式の両辺から $8 y$ を引きます。

$9 y x - x - 8 y = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺に $x$ を足します。

$9 y x - 8 y = x$

ステップ 2.4.3

$y$ を $9 y x - 8 y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.1

$y$ を $9 y x$ で因数分解します。

$y (9 x) - 8 y = x$

ステップ 2.4.3.2

$y$ を $- 8 y$ で因数分解します。

$y (9 x) + y \cdot - 8 = x$

ステップ 2.4.3.3

$y$ を $y (9 x) + y \cdot - 8$ で因数分解します。

$y (9 x - 8) = x$

ステップ 2.4.4

$y (9 x - 8) = x$ の各項を $9 x - 8$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.4.1

$y (9 x - 8) = x$ の各項を $9 x - 8$ で割ります。

$\frac{y (9 x - 8)}{9 x - 8} = \frac{x}{9 x - 8}$

ステップ 2.4.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.4.2.1

$9 x - 8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y (9 x - 8)}{9 x - 8} = \frac{x}{9 x - 8}$

ステップ 2.4.4.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{x}{9 x - 8}$

ステップ 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{9 x - 8}$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{9 x - 8}$ が $f (x) = \frac{8 x}{9 x - 1}$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 4.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\frac{8 x}{9 x - 1})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\frac{8 x}{9 x - 1}) = \frac{\frac{8 x}{9 x - 1}}{9 (\frac{8 x}{9 x - 1}) - 8}$

ステップ 4.2.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$f^{- 1} (\frac{8 x}{9 x - 1}) = \frac{8 x}{9 x - 1} \cdot \frac{1}{9 (\frac{8 x}{9 x - 1}) - 8}$

ステップ 4.2.4

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1

$9 \frac{8 x}{9 x - 1}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1.1

$9$ と $\frac{8 x}{9 x - 1}$ をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{8 x}{9 x - 1}) = \frac{8 x}{9 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{9 (8 x)}{9 x - 1} - 8}$

ステップ 4.2.4.1.2

$8$ に $9$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{8 x}{9 x - 1}) = \frac{8 x}{9 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{72 x}{9 x - 1} - 8}$

ステップ 4.2.4.2

$- 8$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{9 x - 1}{9 x - 1}$ を掛けます。

$f^{- 1} (\frac{8 x}{9 x - 1}) = \frac{8 x}{9 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{72 x}{9 x - 1} - 8 \cdot \frac{9 x - 1}{9 x - 1}}$

ステップ 4.2.4.3

$- 8$ と $\frac{9 x - 1}{9 x - 1}$ をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{8 x}{9 x - 1}) = \frac{8 x}{9 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{72 x}{9 x - 1} + \frac{- 8 (9 x - 1)}{9 x - 1}}$

ステップ 4.2.4.4

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{8 x}{9 x - 1}) = \frac{8 x}{9 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{72 x - 8 (9 x - 1)}{9 x - 1}}$

ステップ 4.2.4.5

因数分解した形で $\frac{72 x - 8 (9 x - 1)}{9 x - 1}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.5.1

$8$ を $72 x - 8 (9 x - 1)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.5.1.1

$8$ を $72 x$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{8 x}{9 x - 1}) = \frac{8 x}{9 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{8 (9 x) - 8 (9 x - 1)}{9 x - 1}}$

ステップ 4.2.4.5.1.2

$8$ を $- 8 (9 x - 1)$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{8 x}{9 x - 1}) = \frac{8 x}{9 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{8 (9 x) + 8 (- (9 x - 1))}{9 x - 1}}$

ステップ 4.2.4.5.1.3

$8$ を $8 (9 x) + 8 (- (9 x - 1))$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{8 x}{9 x - 1}) = \frac{8 x}{9 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{8 (9 x - (9 x - 1))}{9 x - 1}}$

ステップ 4.2.4.5.2

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\frac{8 x}{9 x - 1}) = \frac{8 x}{9 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{8 (9 x - (9 x) + 1)}{9 x - 1}}$

ステップ 4.2.4.5.3

$9$ に $- 1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{8 x}{9 x - 1}) = \frac{8 x}{9 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{8 (9 x - 9 x + 1)}{9 x - 1}}$

ステップ 4.2.4.5.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{8 x}{9 x - 1}) = \frac{8 x}{9 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{8 (9 x - 9 x + 1)}{9 x - 1}}$

ステップ 4.2.4.5.5

$9 x$ から $9 x$ を引きます。

$f^{- 1} (\frac{8 x}{9 x - 1}) = \frac{8 x}{9 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{8 (0 + 1)}{9 x - 1}}$

ステップ 4.2.4.5.6

$0$ と $1$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{8 x}{9 x - 1}) = \frac{8 x}{9 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{8 \cdot 1}{9 x - 1}}$

ステップ 4.2.4.6

$8$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{8 x}{9 x - 1}) = \frac{8 x}{9 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{8}{9 x - 1}}$

ステップ 4.2.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$f^{- 1} (\frac{8 x}{9 x - 1}) = \frac{8 x}{9 x - 1} \cdot (1 (\frac{9 x - 1}{8}))$

ステップ 4.2.6

$\frac{9 x - 1}{8}$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{8 x}{9 x - 1}) = \frac{8 x}{9 x - 1} \cdot \frac{9 x - 1}{8}$

ステップ 4.2.7

$8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.7.1

$8$ を $8 x$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{8 x}{9 x - 1}) = \frac{8 (x)}{9 x - 1} \cdot \frac{9 x - 1}{8}$

ステップ 4.2.7.2

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{8 x}{9 x - 1}) = \frac{8 x}{9 x - 1} \cdot \frac{9 x - 1}{8}$

ステップ 4.2.7.3

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{8 x}{9 x - 1}) = \frac{x}{9 x - 1} \cdot (9 x - 1)$

ステップ 4.2.8

$9 x - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.8.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{8 x}{9 x - 1}) = \frac{x}{9 x - 1} \cdot (9 x - 1)$

ステップ 4.2.8.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{8 x}{9 x - 1}) = x$

ステップ 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 4.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{x}{9 x - 8})$ の値を求めます。

$f (\frac{x}{9 x - 8}) = \frac{8 (\frac{x}{9 x - 8})}{9 (\frac{x}{9 x - 8}) - 1}$

ステップ 4.3.3

$8$ と $\frac{x}{9 x - 8}$ をまとめます。

$f (\frac{x}{9 x - 8}) = \frac{\frac{8 x}{9 x - 8}}{9 (\frac{x}{9 x - 8}) - 1}$

ステップ 4.3.4

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1

$9$ と $\frac{x}{9 x - 8}$ をまとめます。

$f (\frac{x}{9 x - 8}) = \frac{\frac{8 x}{9 x - 8}}{\frac{9 x}{9 x - 8} - 1}$

ステップ 4.3.4.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{9 x - 8}{9 x - 8}$ を掛けます。

$f (\frac{x}{9 x - 8}) = \frac{\frac{8 x}{9 x - 8}}{\frac{9 x}{9 x - 8} - 1 \cdot \frac{9 x - 8}{9 x - 8}}$

ステップ 4.3.4.3

$- 1$ と $\frac{9 x - 8}{9 x - 8}$ をまとめます。

$f (\frac{x}{9 x - 8}) = \frac{\frac{8 x}{9 x - 8}}{\frac{9 x}{9 x - 8} + \frac{- (9 x - 8)}{9 x - 8}}$

ステップ 4.3.4.4

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{x}{9 x - 8}) = \frac{\frac{8 x}{9 x - 8}}{\frac{9 x - (9 x - 8)}{9 x - 8}}$

ステップ 4.3.4.5

因数分解した形で $\frac{9 x - (9 x - 8)}{9 x - 8}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.5.1

分配則を当てはめます。

$f (\frac{x}{9 x - 8}) = \frac{\frac{8 x}{9 x - 8}}{\frac{9 x - (9 x) + 8}{9 x - 8}}$

ステップ 4.3.4.5.2

$9$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{x}{9 x - 8}) = \frac{\frac{8 x}{9 x - 8}}{\frac{9 x - 9 x + 8}{9 x - 8}}$

ステップ 4.3.4.5.3

$- 1$ に $- 8$ をかけます。

$f (\frac{x}{9 x - 8}) = \frac{\frac{8 x}{9 x - 8}}{\frac{9 x - 9 x + 8}{9 x - 8}}$

ステップ 4.3.4.5.4

$9 x$ から $9 x$ を引きます。

$f (\frac{x}{9 x - 8}) = \frac{\frac{8 x}{9 x - 8}}{\frac{0 + 8}{9 x - 8}}$

ステップ 4.3.4.5.5

$0$ と $8$ をたし算します。

$f (\frac{x}{9 x - 8}) = \frac{\frac{8 x}{9 x - 8}}{\frac{8}{9 x - 8}}$

ステップ 4.3.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (\frac{x}{9 x - 8}) = \frac{8 x}{9 x - 8} \cdot \frac{9 x - 8}{8}$

ステップ 4.3.6

$8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.1

$8$ を $8 x$ で因数分解します。

$f (\frac{x}{9 x - 8}) = \frac{8 (x)}{9 x - 8} \cdot \frac{9 x - 8}{8}$

ステップ 4.3.6.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{x}{9 x - 8}) = \frac{8 x}{9 x - 8} \cdot \frac{9 x - 8}{8}$

ステップ 4.3.6.3

式を書き換えます。

$f (\frac{x}{9 x - 8}) = \frac{x}{9 x - 8} \cdot (9 x - 8)$

ステップ 4.3.7

$9 x - 8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{x}{9 x - 8}) = \frac{x}{9 x - 8} \cdot (9 x - 8)$

ステップ 4.3.7.2

式を書き換えます。

$f (\frac{x}{9 x - 8}) = x$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{x}{9 x - 8}$ は $f (x) = \frac{8 x}{9 x - 1}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{9 x - 8}$

代数 例

代数例