代数例

$9 + \sqrt[3]{x}$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = 9 + \sqrt[3]{y}$

ステップ 2

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式を $9 + \sqrt[3]{y} = x$ として書き換えます。

$9 + \sqrt[3]{y} = x$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $9$ を引きます。

$\sqrt[3]{y} = x - 9$

ステップ 2.3

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を3乗します。

${\sqrt[3]{y}}^{3} = {(x - 9)}^{3}$

ステップ 2.4

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{y}$ を $y^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x - 9)}^{3}$

ステップ 2.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.1

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 9)}^{3}$

ステップ 2.4.2.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 9)}^{3}$

ステップ 2.4.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{1} = {(x - 9)}^{3}$

ステップ 2.4.2.1.2

簡約します。

$y = {(x - 9)}^{3}$

ステップ 2.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.1

${(x - 9)}^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.1.1

二項定理を利用します。

$y = x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 9 + 3 x {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3}$

ステップ 2.4.3.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.1.2.1

$- 9$ に $3$ をかけます。

$y = x^{3} - 27 x^{2} + 3 x {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3}$

ステップ 2.4.3.1.2.2

$- 9$ を $2$ 乗します。

$y = x^{3} - 27 x^{2} + 3 x \cdot 81 + {(- 9)}^{3}$

ステップ 2.4.3.1.2.3

$81$ に $3$ をかけます。

$y = x^{3} - 27 x^{2} + 243 x + {(- 9)}^{3}$

ステップ 2.4.3.1.2.4

$- 9$ を $3$ 乗します。

$y = x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729$

ステップ 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729$ が $f (x) = 9 + \sqrt[3]{x}$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 4.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (9 + \sqrt[3]{x})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (9 + \sqrt[3]{x}) = {(9 + \sqrt[3]{x})}^{3} - 27 {(9 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 243 (9 + \sqrt[3]{x}) - 729$

ステップ 4.2.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

二項定理を利用します。

$f^{- 1} (9 + \sqrt[3]{x}) = 9^{3} + 3 \cdot (9^{2} \sqrt[3]{x}) + 3 \cdot (9 {\sqrt[3]{x}}^{2}) + {\sqrt[3]{x}}^{3} - 27 {(9 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 243 (9 + \sqrt[3]{x}) - 729$

ステップ 4.2.3.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.2.1

$9$ を $3$ 乗します。

$f^{- 1} (9 + \sqrt[3]{x}) = 729 + 3 \cdot (9^{2} \sqrt[3]{x}) + 3 \cdot (9 {\sqrt[3]{x}}^{2}) + {\sqrt[3]{x}}^{3} - 27 {(9 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 243 (9 + \sqrt[3]{x}) - 729$

ステップ 4.2.3.2.2

$9$ を $2$ 乗します。

$f^{- 1} (9 + \sqrt[3]{x}) = 729 + 3 \cdot (81 \sqrt[3]{x}) + 3 \cdot (9 {\sqrt[3]{x}}^{2}) + {\sqrt[3]{x}}^{3} - 27 {(9 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 243 (9 + \sqrt[3]{x}) - 729$

ステップ 4.2.3.2.3

$3$ に $81$ をかけます。

$f^{- 1} (9 + \sqrt[3]{x}) = 729 + 243 \sqrt[3]{x} + 3 \cdot (9 {\sqrt[3]{x}}^{2}) + {\sqrt[3]{x}}^{3} - 27 {(9 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 243 (9 + \sqrt[3]{x}) - 729$

ステップ 4.2.3.2.4

$3$ に $9$ をかけます。

$f^{- 1} (9 + \sqrt[3]{x}) = 729 + 243 \sqrt[3]{x} + 27 {\sqrt[3]{x}}^{2} + {\sqrt[3]{x}}^{3} - 27 {(9 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 243 (9 + \sqrt[3]{x}) - 729$

ステップ 4.2.3.2.5

${\sqrt[3]{x}}^{2}$ を $\sqrt[3]{x^{2}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (9 + \sqrt[3]{x}) = 729 + 243 \sqrt[3]{x} + 27 \sqrt[3]{x^{2}} + {\sqrt[3]{x}}^{3} - 27 {(9 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 243 (9 + \sqrt[3]{x}) - 729$

ステップ 4.2.3.2.6

${\sqrt[3]{x}}^{3}$ を $x$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.2.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (9 + \sqrt[3]{x}) = 729 + 243 \sqrt[3]{x} + 27 \sqrt[3]{x^{2}} + {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} - 27 {(9 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 243 (9 + \sqrt[3]{x}) - 729$

ステップ 4.2.3.2.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (9 + \sqrt[3]{x}) = 729 + 243 \sqrt[3]{x} + 27 \sqrt[3]{x^{2}} + x^{\frac{1}{3} \cdot 3} - 27 {(9 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 243 (9 + \sqrt[3]{x}) - 729$

ステップ 4.2.3.2.6.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$f^{- 1} (9 + \sqrt[3]{x}) = 729 + 243 \sqrt[3]{x} + 27 \sqrt[3]{x^{2}} + x^{\frac{3}{3}} - 27 {(9 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 243 (9 + \sqrt[3]{x}) - 729$

ステップ 4.2.3.2.6.4

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.2.6.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (9 + \sqrt[3]{x}) = 729 + 243 \sqrt[3]{x} + 27 \sqrt[3]{x^{2}} + x^{\frac{3}{3}} - 27 {(9 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 243 (9 + \sqrt[3]{x}) - 729$

ステップ 4.2.3.2.6.4.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (9 + \sqrt[3]{x}) = 729 + 243 \sqrt[3]{x} + 27 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 27 {(9 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 243 (9 + \sqrt[3]{x}) - 729$

ステップ 4.2.3.2.6.5

簡約します。

$f^{- 1} (9 + \sqrt[3]{x}) = 729 + 243 \sqrt[3]{x} + 27 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 27 {(9 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 243 (9 + \sqrt[3]{x}) - 729$

ステップ 4.2.3.3

${(9 + \sqrt[3]{x})}^{2}$ を $(9 + \sqrt[3]{x}) (9 + \sqrt[3]{x})$ に書き換えます。

$f^{- 1} (9 + \sqrt[3]{x}) = 729 + 243 \sqrt[3]{x} + 27 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 27 ((9 + \sqrt[3]{x}) (9 + \sqrt[3]{x})) + 243 (9 + \sqrt[3]{x}) - 729$

ステップ 4.2.3.4

分配法則（FOIL法）を使って $(9 + \sqrt[3]{x}) (9 + \sqrt[3]{x})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.4.1

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (9 + \sqrt[3]{x}) = 729 + 243 \sqrt[3]{x} + 27 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 27 (9 (9 + \sqrt[3]{x}) + \sqrt[3]{x} (9 + \sqrt[3]{x})) + 243 (9 + \sqrt[3]{x}) - 729$

ステップ 4.2.3.4.2

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (9 + \sqrt[3]{x}) = 729 + 243 \sqrt[3]{x} + 27 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 27 (9 \cdot 9 + 9 \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} (9 + \sqrt[3]{x})) + 243 (9 + \sqrt[3]{x}) - 729$

ステップ 4.2.3.4.3

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (9 + \sqrt[3]{x}) = 729 + 243 \sqrt[3]{x} + 27 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 27 (9 \cdot 9 + 9 \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot 9 + \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}) + 243 (9 + \sqrt[3]{x}) - 729$

ステップ 4.2.3.5

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.5.1.1

$9$ に $9$ をかけます。

$f^{- 1} (9 + \sqrt[3]{x}) = 729 + 243 \sqrt[3]{x} + 27 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 27 (81 + 9 \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot 9 + \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}) + 243 (9 + \sqrt[3]{x}) - 729$

ステップ 4.2.3.5.1.2

$9$ を $\sqrt[3]{x}$ の左に移動させます。

$f^{- 1} (9 + \sqrt[3]{x}) = 729 + 243 \sqrt[3]{x} + 27 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 27 (81 + 9 \sqrt[3]{x} + 9 \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}) + 243 (9 + \sqrt[3]{x}) - 729$

ステップ 4.2.3.5.1.3

$\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.5.1.3.1

$\sqrt[3]{x}$ を $1$ 乗します。

$f^{- 1} (9 + \sqrt[3]{x}) = 729 + 243 \sqrt[3]{x} + 27 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 27 (81 + 9 \sqrt[3]{x} + 9 \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}) + 243 (9 + \sqrt[3]{x}) - 729$

ステップ 4.2.3.5.1.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f^{- 1} (9 + \sqrt[3]{x}) = 729 + 243 \sqrt[3]{x} + 27 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 27 (81 + 9 \sqrt[3]{x} + 9 \sqrt[3]{x} + {\sqrt[3]{x}}^{1 + 1}) + 243 (9 + \sqrt[3]{x}) - 729$

ステップ 4.2.3.5.1.3.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$f^{- 1} (9 + \sqrt[3]{x}) = 729 + 243 \sqrt[3]{x} + 27 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 27 (81 + 9 \sqrt[3]{x} + 9 \sqrt[3]{x} + {\sqrt[3]{x}}^{2}) + 243 (9 + \sqrt[3]{x}) - 729$

ステップ 4.2.3.5.1.4

${\sqrt[3]{x}}^{2}$ を $\sqrt[3]{x^{2}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (9 + \sqrt[3]{x}) = 729 + 243 \sqrt[3]{x} + 27 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 27 (81 + 9 \sqrt[3]{x} + 9 \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x^{2}}) + 243 (9 + \sqrt[3]{x}) - 729$

ステップ 4.2.3.5.2

$9 \sqrt[3]{x}$ と $9 \sqrt[3]{x}$ をたし算します。

$f^{- 1} (9 + \sqrt[3]{x}) = 729 + 243 \sqrt[3]{x} + 27 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 27 (81 + 18 \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x^{2}}) + 243 (9 + \sqrt[3]{x}) - 729$

ステップ 4.2.3.6

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (9 + \sqrt[3]{x}) = 729 + 243 \sqrt[3]{x} + 27 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 27 \cdot 81 - 27 (18 \sqrt[3]{x}) - 27 \sqrt[3]{x^{2}} + 243 (9 + \sqrt[3]{x}) - 729$

ステップ 4.2.3.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.7.1

$- 27$ に $81$ をかけます。

$f^{- 1} (9 + \sqrt[3]{x}) = 729 + 243 \sqrt[3]{x} + 27 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 2187 - 27 (18 \sqrt[3]{x}) - 27 \sqrt[3]{x^{2}} + 243 (9 + \sqrt[3]{x}) - 729$

ステップ 4.2.3.7.2

$18$ に $- 27$ をかけます。

$f^{- 1} (9 + \sqrt[3]{x}) = 729 + 243 \sqrt[3]{x} + 27 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 2187 - 486 \sqrt[3]{x} - 27 \sqrt[3]{x^{2}} + 243 (9 + \sqrt[3]{x}) - 729$

ステップ 4.2.3.8

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (9 + \sqrt[3]{x}) = 729 + 243 \sqrt[3]{x} + 27 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 2187 - 486 \sqrt[3]{x} - 27 \sqrt[3]{x^{2}} + 243 \cdot 9 + 243 \sqrt[3]{x} - 729$

ステップ 4.2.3.9

$243$ に $9$ をかけます。

$f^{- 1} (9 + \sqrt[3]{x}) = 729 + 243 \sqrt[3]{x} + 27 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 2187 - 486 \sqrt[3]{x} - 27 \sqrt[3]{x^{2}} + 2187 + 243 \sqrt[3]{x} - 729$

ステップ 4.2.4

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1

$729 + 243 \sqrt[3]{x} + 27 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 2187 - 486 \sqrt[3]{x} - 27 \sqrt[3]{x^{2}} + 2187 + 243 \sqrt[3]{x} - 729$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1.1

$27 \sqrt[3]{x^{2}}$ から $27 \sqrt[3]{x^{2}}$ を引きます。

$f^{- 1} (9 + \sqrt[3]{x}) = 729 + 243 \sqrt[3]{x} + 0 + x - 2187 - 486 \sqrt[3]{x} + 2187 + 243 \sqrt[3]{x} - 729$

ステップ 4.2.4.1.2

$729 + 243 \sqrt[3]{x}$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (9 + \sqrt[3]{x}) = 729 + 243 \sqrt[3]{x} + x - 2187 - 486 \sqrt[3]{x} + 2187 + 243 \sqrt[3]{x} - 729$

ステップ 4.2.4.1.3

$- 2187$ と $2187$ をたし算します。

$f^{- 1} (9 + \sqrt[3]{x}) = 729 + 243 \sqrt[3]{x} + x + 0 - 486 \sqrt[3]{x} + 243 \sqrt[3]{x} - 729$

ステップ 4.2.4.1.4

$729 + 243 \sqrt[3]{x} + x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (9 + \sqrt[3]{x}) = 729 + 243 \sqrt[3]{x} + x - 486 \sqrt[3]{x} + 243 \sqrt[3]{x} - 729$

ステップ 4.2.4.1.5

$729$ から $729$ を引きます。

$f^{- 1} (9 + \sqrt[3]{x}) = 0 + 243 \sqrt[3]{x} + x - 486 \sqrt[3]{x} + 243 \sqrt[3]{x}$

ステップ 4.2.4.1.6

$0$ と $243 \sqrt[3]{x}$ をたし算します。

$f^{- 1} (9 + \sqrt[3]{x}) = 243 \sqrt[3]{x} + x - 486 \sqrt[3]{x} + 243 \sqrt[3]{x}$

ステップ 4.2.4.2

$243 \sqrt[3]{x}$ から $486 \sqrt[3]{x}$ を引きます。

$f^{- 1} (9 + \sqrt[3]{x}) = x - 243 \sqrt[3]{x} + 243 \sqrt[3]{x}$

ステップ 4.2.4.3

$x - 243 \sqrt[3]{x} + 243 \sqrt[3]{x}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.3.1

$- 243 \sqrt[3]{x}$ と $243 \sqrt[3]{x}$ をたし算します。

$f^{- 1} (9 + \sqrt[3]{x}) = x + 0$

ステップ 4.2.4.3.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (9 + \sqrt[3]{x}) = x$

ステップ 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 4.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)$ の値を求めます。

$f (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729) = 9 + \sqrt[3]{x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729}$

ステップ 4.3.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

各項を2項式の定理の公式の項と一致させます。

$f (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729) = 9 + \sqrt[3]{x^{3} - 3 \cdot (9 x^{2}) + 3 \cdot (9^{2} x) - 1 \cdot 9^{3}}$

ステップ 4.3.3.2

2項式の定理を利用して $x^{3} - 3 \cdot 9 x^{2} + 3 \cdot 9^{2} x - 1 \cdot 9^{3}$ を因数分解します。

$f (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729) = 9 + \sqrt[3]{{(x - 9)}^{3}}$

ステップ 4.3.3.3

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729) = 9 + x - 9$

ステップ 4.3.4

$9 + x - 9$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1

$9$ から $9$ を引きます。

$f (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729) = x + 0$

ステップ 4.3.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729) = x$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729$ は $f (x) = 9 + \sqrt[3]{x}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729$

代数 例

代数例