代数例

$y = 3 {(x + \frac{1}{3})}^{2} + \frac{2}{3}$

ステップ 1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

${(x + \frac{1}{3})}^{2}$ を $(x + \frac{1}{3}) (x + \frac{1}{3})$ に書き換えます。

$f (x) = 3 ((x + \frac{1}{3}) (x + \frac{1}{3})) + \frac{2}{3}$

ステップ 1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x + \frac{1}{3}) (x + \frac{1}{3})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

分配則を当てはめます。

$f (x) = 3 (x (x + \frac{1}{3}) + \frac{1}{3} \cdot (x + \frac{1}{3})) + \frac{2}{3}$

ステップ 1.2.2

分配則を当てはめます。

$f (x) = 3 (x \cdot x + x (\frac{1}{3}) + \frac{1}{3} \cdot (x + \frac{1}{3})) + \frac{2}{3}$

ステップ 1.2.3

分配則を当てはめます。

$f (x) = 3 (x \cdot x + x (\frac{1}{3}) + \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}) + \frac{2}{3}$

ステップ 1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$f (x) = 3 (x^{2} + x (\frac{1}{3}) + \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}) + \frac{2}{3}$

ステップ 1.3.1.2

$x$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$f (x) = 3 (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}) + \frac{2}{3}$

ステップ 1.3.1.3

$\frac{1}{3}$ と $x$ をまとめます。

$f (x) = 3 (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}) + \frac{2}{3}$

ステップ 1.3.1.4

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.4.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$f (x) = 3 (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{x}{3} + \frac{1}{3 \cdot 3}) + \frac{2}{3}$

ステップ 1.3.1.4.2

$3$ に $3$ をかけます。

$f (x) = 3 (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9}) + \frac{2}{3}$

ステップ 1.3.2

$\frac{x}{3}$ と $\frac{x}{3}$ をたし算します。

$f (x) = 3 (x^{2} + 2 (\frac{x}{3}) + \frac{1}{9}) + \frac{2}{3}$

ステップ 1.4

$2$ と $\frac{x}{3}$ をまとめます。

$f (x) = 3 (x^{2} + \frac{2 x}{3} + \frac{1}{9}) + \frac{2}{3}$

ステップ 1.5

分配則を当てはめます。

$f (x) = 3 x^{2} + 3 (\frac{2 x}{3}) + 3 (\frac{1}{9}) + \frac{2}{3}$

ステップ 1.6

簡約します。

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ステップ 1.6.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.6.1.1

共通因数を約分します。

$f (x) = 3 x^{2} + 3 (\frac{2 x}{3}) + 3 (\frac{1}{9}) + \frac{2}{3}$

ステップ 1.6.1.2

式を書き換えます。

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + 3 (\frac{1}{9}) + \frac{2}{3}$

ステップ 1.6.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.6.2.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + 3 (\frac{1}{3 (3)}) + \frac{2}{3}$

ステップ 1.6.2.2

共通因数を約分します。

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + 3 (\frac{1}{3 \cdot 3}) + \frac{2}{3}$

ステップ 1.6.2.3

式を書き換えます。

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + \frac{1}{3} + \frac{2}{3}$

ステップ 2

分数をまとめます。

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ステップ 2.1

公分母の分子をまとめます。

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + \frac{1 + 2}{3}$

ステップ 2.2

式を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$1$ と $2$ をたし算します。

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + \frac{3}{3}$

ステップ 2.2.2

$3$ を $3$ で割ります。

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + 1$

ステップ 3

二次関数の最小値は $x = - \frac{b}{2 a}$ で発生します。 $a$ が正の場合、関数の最小値は $f (- \frac{b}{2 a})$ です。

$f_{最小}$ $x = a x^{2} + b x + c$ は $x = - \frac{b}{2 a}$ で生じます

ステップ 4

$x = - \frac{b}{2 a}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$a$ と $b$ の値に代入します。

$x = - \frac{2}{2 (3)}$

ステップ 4.2

括弧を削除します。

$x = - \frac{2}{2 (3)}$

ステップ 4.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.1

共通因数を約分します。

$x = - \frac{2}{2 \cdot 3}$

ステップ 4.3.2

式を書き換えます。

$x = - \frac{1}{3}$

ステップ 5

$f (- \frac{1}{3})$ の値を求めます。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- \frac{1}{3}$ で置換えます。

$f (- \frac{1}{3}) = 3 {(- \frac{1}{3})}^{2} + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 5.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{1}{3}$ に当てはめます。

$f (- \frac{1}{3}) = 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{3})}^{2}) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

ステップ 5.2.1.1.2

積の法則を $\frac{1}{3}$ に当てはめます。

$f (- \frac{1}{3}) = 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{3^{2}})) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

ステップ 5.2.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{1}{3}) = 3 (1 (\frac{1^{2}}{3^{2}})) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

ステップ 5.2.1.3

$\frac{1^{2}}{3^{2}}$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{1}{3}) = 3 (\frac{1^{2}}{3^{2}}) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

ステップ 5.2.1.4

1のすべての数の累乗は1です。

$f (- \frac{1}{3}) = 3 (\frac{1}{3^{2}}) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

ステップ 5.2.1.5

$3$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{1}{3}) = 3 (\frac{1}{9}) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

ステップ 5.2.1.6

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.6.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$f (- \frac{1}{3}) = 3 (\frac{1}{3 (3)}) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

ステップ 5.2.1.6.2

共通因数を約分します。

$f (- \frac{1}{3}) = 3 (\frac{1}{3 \cdot 3}) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

ステップ 5.2.1.6.3

式を書き換えます。

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{3} + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

ステップ 5.2.1.7

$2 (- \frac{1}{3})$ を掛けます。

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ステップ 5.2.1.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{3} - 2 (\frac{1}{3}) + 1$

ステップ 5.2.1.7.2

$- 2$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{3} + \frac{- 2}{3} + 1$

ステップ 5.2.1.8

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} + 1$

ステップ 5.2.2

分数をまとめます。

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ステップ 5.2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{1}{3}) = 1 + \frac{1 - 2}{3}$

ステップ 5.2.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.2.1

$1$ から $2$ を引きます。

$f (- \frac{1}{3}) = 1 + \frac{- 1}{3}$

ステップ 5.2.2.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \frac{1}{3}) = 1 - \frac{1}{3}$

ステップ 5.2.2.2.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

ステップ 5.2.2.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{3 - 1}{3}$

ステップ 5.2.2.2.5

$3$ から $1$ を引きます。

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{2}{3}$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $\frac{2}{3}$ です。

$\frac{2}{3}$

ステップ 6

$x$ 値と $y$ 値を利用し、最小値が発生する場所を求めます。

$(- \frac{1}{3}, \frac{2}{3})$

ステップ 7

代数 例

代数例