代数例

$f (x) = x^{4} - 9 x^{2}$

ステップ 1

$x^{4} - 9 x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{4} - 9 x^{2} = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

${(x^{2})}^{2} - 9 x^{2} = 0$

ステップ 2.1.2

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$u^{2} - 9 u = 0$

ステップ 2.1.3

$u$ を $u^{2} - 9 u$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.3.1

$u$ を $u^{2}$ で因数分解します。

$u \cdot u - 9 u = 0$

ステップ 2.1.3.2

$u$ を $- 9 u$ で因数分解します。

$u \cdot u + u \cdot - 9 = 0$

ステップ 2.1.3.3

$u$ を $u \cdot u + u \cdot - 9$ で因数分解します。

$u (u - 9) = 0$

ステップ 2.1.4

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$x^{2} (x^{2} - 9) = 0$

ステップ 2.2

因数分解。

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ステップ 2.2.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x^{2} (x^{2} - 3^{2}) = 0$

ステップ 2.2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 3$ です。

$x^{2} ((x + 3) (x - 3)) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

ステップ 2.4

$x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 2.4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 2.4.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 2.4.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 2.5

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 2.6

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.6.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 2.6.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 2.7

最終解は $x^{2} (x^{2} - 9) = 0$ を真にするすべての値です。根の重複度は根が出現する回数です。

$x = 0$ （ $2$ の重複度）

$x = - 3$ （ $1$ の重複度）

$x = 3$ （ $1$ の重複度）

$x = 0$ （ $2$ の重複度）

$x = - 3$ （ $1$ の重複度）

$x = 3$ （ $1$ の重複度）

ステップ 3

代数 例

代数例