代数例

$f (x) = - x^{3} + 4 x^{2} + 15 x - 18$

ステップ 1

$- x^{3} + 4 x^{2} + 15 x - 18$ が $0$ に等しいとします。

$- x^{3} + 4 x^{2} + 15 x - 18 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

有理根検定を用いて $- x^{3} + 4 x^{2} + 15 x - 18$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1$

ステップ 2.1.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

ステップ 2.1.1.3

$1$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $1$ は多項式の根です。

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ステップ 2.1.1.3.1

$1$ を多項式に代入します。

$- 1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + 15 \cdot 1 - 18$

ステップ 2.1.1.3.2

$1$ を $3$ 乗します。

$- 1 \cdot 1 + 4 \cdot 1^{2} + 15 \cdot 1 - 18$

ステップ 2.1.1.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1 + 4 \cdot 1^{2} + 15 \cdot 1 - 18$

ステップ 2.1.1.3.4

$1$ を $2$ 乗します。

$- 1 + 4 \cdot 1 + 15 \cdot 1 - 18$

ステップ 2.1.1.3.5

$4$ に $1$ をかけます。

$- 1 + 4 + 15 \cdot 1 - 18$

ステップ 2.1.1.3.6

$- 1$ と $4$ をたし算します。

$3 + 15 \cdot 1 - 18$

ステップ 2.1.1.3.7

$15$ に $1$ をかけます。

$3 + 15 - 18$

ステップ 2.1.1.3.8

$3$ と $15$ をたし算します。

$18 - 18$

ステップ 2.1.1.3.9

$18$ から $18$ を引きます。

$0$

ステップ 2.1.1.4

$1$ は既知の根なので、多項式を $x - 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{- x^{3} + 4 x^{2} + 15 x - 18}{x - 1}$

ステップ 2.1.1.5

$- x^{3} + 4 x^{2} + 15 x - 18$ を $x - 1$ で割ります。

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ステップ 2.1.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$1$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$15 x$

$18$

ステップ 2.1.1.5.2

被除数 $- x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$15 x$	-	$18$

ステップ 2.1.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$15 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

ステップ 2.1.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $- x^{3} + x^{2}$ の符号をすべて変更します。

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$15 x$	-	$18$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

ステップ 2.1.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$15 x$	-	$18$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$

ステップ 2.1.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$15 x$	-	$18$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$15 x$

ステップ 2.1.1.5.7

被除数 $3 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

			-	$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$15 x$	-	$18$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$15 x$

ステップ 2.1.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$15 x$	-	$18$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$15 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$

ステップ 2.1.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $3 x^{2} - 3 x$ の符号をすべて変更します。

			-	$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$15 x$	-	$18$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$15 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$3 x$

ステップ 2.1.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$15 x$	-	$18$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$15 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$18 x$

ステップ 2.1.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

			-	$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$15 x$	-	$18$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$15 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$18 x$	-	$18$

ステップ 2.1.1.5.12

被除数 $18 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

			-	$x^{2}$	+	$3 x$	+	$18$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$15 x$	-	$18$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$15 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$18 x$	-	$18$

ステップ 2.1.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$x^{2}$	+	$3 x$	+	$18$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$15 x$	-	$18$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$15 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$18 x$	-	$18$
							+	$18 x$	-	$18$

ステップ 2.1.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $18 x - 18$ の符号をすべて変更します。

			-	$x^{2}$	+	$3 x$	+	$18$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$15 x$	-	$18$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$15 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$18 x$	-	$18$
							-	$18 x$	+	$18$

ステップ 2.1.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$x^{2}$	+	$3 x$	+	$18$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$15 x$	-	$18$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$15 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$18 x$	-	$18$
							-	$18 x$	+	$18$
										$0$

ステップ 2.1.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$- x^{2} + 3 x + 18$

ステップ 2.1.1.6

$- x^{3} + 4 x^{2} + 15 x - 18$ を因数の集合として書き換えます。

$(x - 1) (- x^{2} + 3 x + 18) = 0$

ステップ 2.1.2

群による因数分解。

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ステップ 2.1.2.1

群による因数分解。

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ステップ 2.1.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot 18 = - 18$ で和が $b = 3$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 2.1.2.1.1.1

$3$ を $3 x$ で因数分解します。

$(x - 1) (- x^{2} + 3 (x) + 18) = 0$

ステップ 2.1.2.1.1.2

$3$ を $- 3$ プラス $6$ に書き換える

$(x - 1) (- x^{2} + (- 3 + 6) x + 18) = 0$

ステップ 2.1.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$(x - 1) (- x^{2} - 3 x + 6 x + 18) = 0$

ステップ 2.1.2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.1.2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(x - 1) ((- x^{2} - 3 x) + 6 x + 18) = 0$

ステップ 2.1.2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$(x - 1) (x (- x - 3) - 6 (- x - 3)) = 0$

ステップ 2.1.2.1.3

最大公約数 $- x - 3$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x - 1) ((- x - 3) (x - 6)) = 0$

ステップ 2.1.2.2

不要な括弧を削除します。

$(x - 1) (- x - 3) (x - 6) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 1 = 0$

$- x - 3 = 0$

$x - 6 = 0$

ステップ 2.3

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 2.4

$- x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$- x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$- x - 3 = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $- x - 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$- x = 3$

ステップ 2.4.2.2

$- x = 3$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.1

$- x = 3$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{3}{- 1}$

ステップ 2.4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{3}{- 1}$

ステップ 2.4.2.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{3}{- 1}$

ステップ 2.4.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.3.1

$3$ を $- 1$ で割ります。

$x = - 3$

ステップ 2.5

$x - 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x - 6$ が $0$ に等しいとします。

$x - 6 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺に $6$ を足します。

$x = 6$

ステップ 2.6

最終解は $(x - 1) (- x - 3) (x - 6) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 1, - 3, 6$

ステップ 3

代数 例

代数例