代数例

${(z^{2} + 4 z)}^{2} + 7 (z^{2} + 4 z) + 12 = 0$

ステップ 1

$u = z^{2} + 4 z$ とします。 $u$ を $z^{2} + 4 z$ に代入します。

$u^{2} + 7 u + 12 = 0$

ステップ 2

たすき掛けを利用して $u^{2} + 7 u + 12$ を因数分解します。

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ステップ 2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $12$ で、その和が $7$ です。

$3, 4$

ステップ 2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u + 3) (u + 4) = 0$

ステップ 3

$u$ のすべての発生を $z^{2} + 4 z$ で置き換えます。

$(z^{2} + 4 z + 3) (z^{2} + 4 z + 4) = 0$

ステップ 4

たすき掛けを利用して $z^{2} + 4 z + 3$ を因数分解します。

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ステップ 4.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $3$ で、その和が $4$ です。

$1, 3$

ステップ 4.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(z + 1) (z + 3) (z^{2} + 4 z + 4) = 0$

ステップ 5

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 5.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$(z + 1) (z + 3) (z^{2} + 4 z + 2^{2}) = 0$

ステップ 5.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$4 z = 2 \cdot z \cdot 2$

ステップ 5.3

多項式を書き換えます。

$(z + 1) (z + 3) (z^{2} + 2 \cdot z \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

ステップ 5.4

$a = z$ と $b = 2$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$(z + 1) (z + 3) {(z + 2)}^{2} = 0$

ステップ 6

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$z + 1 = 0$

$z + 3 = 0$

${(z + 2)}^{2} = 0$

ステップ 7

$z + 1$ を $0$ に等しくし、 $z$ を解きます。

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ステップ 7.1

$z + 1$ が $0$ に等しいとします。

$z + 1 = 0$

ステップ 7.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$z = - 1$

ステップ 8

$z + 3$ を $0$ に等しくし、 $z$ を解きます。

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ステップ 8.1

$z + 3$ が $0$ に等しいとします。

$z + 3 = 0$

ステップ 8.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$z = - 3$

ステップ 9

${(z + 2)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $z$ を解きます。

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ステップ 9.1

${(z + 2)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(z + 2)}^{2} = 0$

ステップ 9.2

$z$ について ${(z + 2)}^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 9.2.1

$z + 2$ が $0$ に等しいとします。

$z + 2 = 0$

ステップ 9.2.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$z = - 2$

ステップ 10

最終解は $(z + 1) (z + 3) {(z + 2)}^{2} = 0$ を真にするすべての値です。

$z = - 1, - 3, - 2$

代数 例

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