代数例

${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}} - 2 = 6$

ステップ 1

方程式の両辺から $6$ を引きます。

${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}} - 2 - 6 = 0$

ステップ 2

$- 2$ から $6$ を引きます。

${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}} - 8 = 0$

ステップ 3

${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}}$ を ${({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}})}^{3}$ に書き換えます。

${({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}})}^{3} - 8 = 0$

ステップ 4

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

${({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}})}^{3} - 2^{3} = 0$

ステップ 5

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}$ であり、 $b = 2$ です。

$({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2) ({({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}})}^{2} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

ステップ 6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

${({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2) ({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4} \cdot 2} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

ステップ 6.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2) ({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 2} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

ステップ 6.1.2.2

共通因数を約分します。

$({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2) ({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

ステップ 6.1.2.3

式を書き換えます。

$({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2) ({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

ステップ 6.2

$2$ を ${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}$ の左に移動させます。

$({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2) ({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} + 2^{2}) = 0$

ステップ 6.3

$2$ を $2$ 乗します。

$({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2) ({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} + 4) = 0$

ステップ 6.4

項を並べ替えます。

$({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2) (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + 4) = 0$

ステップ 7

$({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2) (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + 4)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2) (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + 4)$ を展開します。

${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

ステップ 7.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

ステップ 7.2.1.2

指数を足して ${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}$ に ${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.2.1

${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}$ を移動させます。

$2 ({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

ステップ 7.2.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

ステップ 7.2.1.2.3

公分母の分子をまとめます。

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1 + 1}{4}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

ステップ 7.2.1.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{2}{4}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

ステップ 7.2.1.2.5

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.2.5.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{2 (1)}{4}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

ステップ 7.2.1.2.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.2.5.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

ステップ 7.2.1.2.5.2.2

共通因数を約分します。

ステップ 7.2.1.2.5.2.3

式を書き換えます。

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

ステップ 7.2.1.3

指数を足して ${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}$ に ${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.3.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4} + \frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

ステップ 7.2.1.3.2

$\frac{1}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

ステップ 7.2.1.3.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $4$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.3.3.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

ステップ 7.2.1.3.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4} + \frac{2}{4}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

ステップ 7.2.1.3.4

公分母の分子をまとめます。

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1 + 2}{4}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

ステップ 7.2.1.3.5

$1$ と $2$ をたし算します。

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

ステップ 7.2.1.4

$4$ を ${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}$ の左に移動させます。

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}} + 4 \cdot {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

ステップ 7.2.1.5

$2$ に $- 2$ をかけます。

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}} + 4 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 4 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

ステップ 7.2.1.6

$- 2$ に $4$ をかけます。

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}} + 4 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 4 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 8 = 0$

ステップ 7.2.2

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}} + 4 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 4 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 8$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$4 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}$ から $4 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}$ を引きます。

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}} + 0 - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 8 = 0$

ステップ 7.2.2.2

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}}$ と $0$ をたし算します。

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}} - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 8 = 0$

ステップ 7.2.2.3

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ から $2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ を引きます。

$0 + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}} - 8 = 0$

ステップ 7.2.2.4

$0$ と ${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}}$ をたし算します。

${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}} - 8 = 0$

ステップ 8

方程式の両辺に $8$ を足します。

${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}} = 8$

ステップ 9

方程式の両辺を $\frac{4}{3}$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}} = 8^{\frac{4}{3}}$

ステップ 10

指数を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1

${({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1.1

${({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = 8^{\frac{4}{3}}$

ステップ 10.1.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = 8^{\frac{4}{3}}$

ステップ 10.1.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 8^{\frac{4}{3}}$

ステップ 10.1.1.1.3

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1.1.3.1

共通因数を約分します。

${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 8^{\frac{4}{3}}$

ステップ 10.1.1.1.3.2

式を書き換えます。

${(x^{2} - x - 4)}^{1} = 8^{\frac{4}{3}}$

ステップ 10.1.1.2

簡約します。

$x^{2} - x - 4 = 8^{\frac{4}{3}}$

ステップ 10.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

$8^{\frac{4}{3}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1.1.1

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$x^{2} - x - 4 = {(2^{3})}^{\frac{4}{3}}$

ステップ 10.2.1.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{2} - x - 4 = 2^{3 (\frac{4}{3})}$

ステップ 10.2.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$x^{2} - x - 4 = 2^{3 (\frac{4}{3})}$

ステップ 10.2.1.2.2

式を書き換えます。

$x^{2} - x - 4 = 2^{4}$

ステップ 10.2.1.3

$2$ を $4$ 乗します。

$x^{2} - x - 4 = 16$

ステップ 11

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

方程式の両辺から $16$ を引きます。

$x^{2} - x - 4 - 16 = 0$

ステップ 11.2

$- 4$ から $16$ を引きます。

$x^{2} - x - 20 = 0$

ステップ 11.3

たすき掛けを利用して $x^{2} - x - 20$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 20$ で、その和が $- 1$ です。

$- 5, 4$

ステップ 11.3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 5) (x + 4) = 0$

ステップ 11.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

ステップ 11.5

$x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.1

$x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x - 5 = 0$

ステップ 11.5.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 11.6

$x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.6.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 11.6.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 11.7

最終解は $(x - 5) (x + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 5, - 4$

代数 例

代数例