代数例

${(\frac{1}{9})}^{a + 1} = 81^{a + 1} \cdot 27^{2 - a}$

ステップ 1

方程式の両辺から $81^{a + 1} \cdot 27^{2 - a}$ を引きます。

${(\frac{1}{9})}^{a + 1} - 81^{a + 1} \cdot 27^{2 - a} = 0$

ステップ 2

${(\frac{1}{9})}^{a + 1} - 81^{a + 1} \cdot 27^{2 - a}$ を簡約します。

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ステップ 2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1

積の法則を $\frac{1}{9}$ に当てはめます。

$\frac{1^{a + 1}}{9^{a + 1}} - 81^{a + 1} \cdot 27^{2 - a} = 0$

ステップ 2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{9^{a + 1}} - 81^{a + 1} \cdot 27^{2 - a} = 0$

ステップ 2.1.3

$- 81^{a + 1} \cdot 27^{2 - a}$ を掛けます。

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ステップ 2.1.3.1

$27$ を $3^{3}$ に書き換えます。

$\frac{1}{9^{a + 1}} - ({(3^{3})}^{2 - a} \cdot 81^{a + 1}) = 0$

ステップ 2.1.3.2

${(3^{3})}^{2 - a}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.1.3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{9^{a + 1}} - (3^{3 (2 - a)} \cdot 81^{a + 1}) = 0$

ステップ 2.1.3.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{9^{a + 1}} - (3^{3 \cdot 2 + 3 (- a)} \cdot 81^{a + 1}) = 0$

ステップ 2.1.3.2.3

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{9^{a + 1}} - (3^{6 + 3 (- a)} \cdot 81^{a + 1}) = 0$

ステップ 2.1.3.2.4

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{9^{a + 1}} - (3^{6 - 3 a} \cdot 81^{a + 1}) = 0$

ステップ 2.1.3.3

$81$ を $3^{4}$ に書き換えます。

$\frac{1}{9^{a + 1}} - (3^{6 - 3 a} \cdot {(3^{4})}^{a + 1}) = 0$

ステップ 2.1.3.4

${(3^{4})}^{a + 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.1.3.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{9^{a + 1}} - (3^{6 - 3 a} \cdot 3^{4 (a + 1)}) = 0$

ステップ 2.1.3.4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{9^{a + 1}} - (3^{6 - 3 a} \cdot 3^{4 a + 4 \cdot 1}) = 0$

ステップ 2.1.3.4.3

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{9^{a + 1}} - (3^{6 - 3 a} \cdot 3^{4 a + 4}) = 0$

ステップ 2.1.3.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{9^{a + 1}} - 3^{6 - 3 a + 4 a + 4} = 0$

ステップ 2.1.3.6

$6$ と $4$ をたし算します。

$\frac{1}{9^{a + 1}} - 3^{- 3 a + 4 a + 10} = 0$

ステップ 2.1.3.7

$- 3 a$ と $4 a$ をたし算します。

$\frac{1}{9^{a + 1}} - 3^{a + 10} = 0$

ステップ 2.2

$- 3^{a + 10}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{9^{a + 1}}{9^{a + 1}}$ を掛けます。

$\frac{1}{9^{a + 1}} - 3^{a + 10} \cdot \frac{9^{a + 1}}{9^{a + 1}} = 0$

ステップ 2.3

$- 3^{a + 10}$ と $\frac{9^{a + 1}}{9^{a + 1}}$ をまとめます。

$\frac{1}{9^{a + 1}} + \frac{- 3^{a + 10} \cdot 9^{a + 1}}{9^{a + 1}} = 0$

ステップ 2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 - 3^{a + 10} \cdot 9^{a + 1}}{9^{a + 1}} = 0$

ステップ 2.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.1

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$\frac{1^{3} - 3^{a + 10} \cdot 9^{a + 1}}{9^{a + 1}} = 0$

ステップ 2.5.2

$3^{a + 10} \cdot 9^{a + 1}$ を ${(3^{a + 4})}^{3}$ に書き換えます。

$\frac{1^{3} - {(3^{a + 4})}^{3}}{9^{a + 1}} = 0$

ステップ 2.5.3

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = 3^{a + 4}$ です。

$\frac{(1 - 3^{a + 4}) (1^{2} + 1 \cdot 3^{a + 4} + {(3^{a + 4})}^{2})}{9^{a + 1}} = 0$

ステップ 2.5.4

簡約します。

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ステップ 2.5.4.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{(1 - 3^{a + 4}) (1 + 1 \cdot 3^{a + 4} + {(3^{a + 4})}^{2})}{9^{a + 1}} = 0$

ステップ 2.5.4.2

$3^{a + 4}$ に $1$ をかけます。

$\frac{(1 - 3^{a + 4}) (1 + 3^{a + 4} + {(3^{a + 4})}^{2})}{9^{a + 1}} = 0$

ステップ 2.5.4.3

${(3^{a + 4})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.5.4.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{(1 - 3^{a + 4}) (1 + 3^{a + 4} + 3^{(a + 4) \cdot 2})}{9^{a + 1}} = 0$

ステップ 2.5.4.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{(1 - 3^{a + 4}) (1 + 3^{a + 4} + 3^{a \cdot 2 + 4 \cdot 2})}{9^{a + 1}} = 0$

ステップ 2.5.4.3.3

$2$ を $a$ の左に移動させます。

$\frac{(1 - 3^{a + 4}) (1 + 3^{a + 4} + 3^{2 \cdot a + 4 \cdot 2})}{9^{a + 1}} = 0$

ステップ 2.5.4.3.4

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{(1 - 3^{a + 4}) (1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8})}{9^{a + 1}} = 0$

ステップ 3

分子を0に等しくします。

$(1 - 3^{a + 4}) (1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8}) = 0$

ステップ 4

$a$ について方程式を解きます。

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ステップ 4.1

$(1 - 3^{a + 4}) (1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8})$ を簡約します。

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ステップ 4.1.1

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(1 - 3^{a + 4}) (1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8})$ を展開します。

$1 \cdot 1 + 1 \cdot 3^{a + 4} + 1 \cdot 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} \cdot 1 - 3^{a + 4} \cdot 3^{a + 4} - 3^{a + 4} \cdot 3^{2 a + 8} = 0$

ステップ 4.1.2

項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$1 + 1 \cdot 3^{a + 4} + 1 \cdot 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} \cdot 1 - 3^{a + 4} \cdot 3^{a + 4} - 3^{a + 4} \cdot 3^{2 a + 8} = 0$

ステップ 4.1.2.1.2

$3^{a + 4}$ に $1$ をかけます。

$1 + 3^{a + 4} + 1 \cdot 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} \cdot 1 - 3^{a + 4} \cdot 3^{a + 4} - 3^{a + 4} \cdot 3^{2 a + 8} = 0$

ステップ 4.1.2.1.3

$3^{2 a + 8}$ に $1$ をかけます。

$1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} \cdot 1 - 3^{a + 4} \cdot 3^{a + 4} - 3^{a + 4} \cdot 3^{2 a + 8} = 0$

ステップ 4.1.2.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8} - 1 \cdot 3^{a + 4} - 3^{a + 4} \cdot 3^{a + 4} - 3^{a + 4} \cdot 3^{2 a + 8} = 0$

ステップ 4.1.2.1.5

$- 1 \cdot 3^{a + 4}$ を $- 3^{a + 4}$ に書き換えます。

$1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} - 3^{a + 4} \cdot 3^{a + 4} - 3^{a + 4} \cdot 3^{2 a + 8} = 0$

ステップ 4.1.2.1.6

指数を足して $3^{a + 4}$ に $3^{a + 4}$ を掛けます。

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ステップ 4.1.2.1.6.1

$3^{a + 4}$ を移動させます。

$1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} - (3^{a + 4} \cdot 3^{a + 4}) - 3^{a + 4} \cdot 3^{2 a + 8} = 0$

ステップ 4.1.2.1.6.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} - 3^{a + 4 + a + 4} - 3^{a + 4} \cdot 3^{2 a + 8} = 0$

ステップ 4.1.2.1.6.3

$a$ と $a$ をたし算します。

$1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} - 3^{2 a + 4 + 4} - 3^{a + 4} \cdot 3^{2 a + 8} = 0$

ステップ 4.1.2.1.6.4

$4$ と $4$ をたし算します。

$1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} - 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} \cdot 3^{2 a + 8} = 0$

ステップ 4.1.2.1.7

指数を足して $3^{a + 4}$ に $3^{2 a + 8}$ を掛けます。

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ステップ 4.1.2.1.7.1

$3^{2 a + 8}$ を移動させます。

$1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} - 3^{2 a + 8} - (3^{2 a + 8} \cdot 3^{a + 4}) = 0$

ステップ 4.1.2.1.7.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} - 3^{2 a + 8} - 3^{2 a + 8 + a + 4} = 0$

ステップ 4.1.2.1.7.3

$2 a$ と $a$ をたし算します。

$1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} - 3^{2 a + 8} - 3^{3 a + 8 + 4} = 0$

ステップ 4.1.2.1.7.4

$8$ と $4$ をたし算します。

$1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} - 3^{2 a + 8} - 3^{3 a + 12} = 0$

ステップ 4.1.2.2

$1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} - 3^{2 a + 8} - 3^{3 a + 12}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.1.2.2.1

$3^{a + 4}$ から $3^{a + 4}$ を引きます。

$1 + 0 + 3^{2 a + 8} - 3^{2 a + 8} - 3^{3 a + 12} = 0$

ステップ 4.1.2.2.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$1 + 3^{2 a + 8} - 3^{2 a + 8} - 3^{3 a + 12} = 0$

ステップ 4.1.2.2.3

$3^{2 a + 8}$ から $3^{2 a + 8}$ を引きます。

$1 + 0 - 3^{3 a + 12} = 0$

ステップ 4.1.2.2.4

$1$ と $0$ をたし算します。

$1 - 3^{3 a + 12} = 0$

ステップ 4.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- 3^{3 a + 12} = - 1$

ステップ 4.3

$- 3^{3 a + 12} = - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.3.1

$- 3^{3 a + 12} = - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- 3^{3 a + 12}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 4.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.3.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{3^{3 a + 12}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 4.3.2.2

$3^{3 a + 12}$ を $1$ で割ります。

$3^{3 a + 12} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 4.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$3^{3 a + 12} = 1$

ステップ 4.4

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (3^{3 a + 12}) = \ln (1)$

ステップ 4.5

$3 a + 12$ を対数の外に移動させて、 $\ln (3^{3 a + 12})$ を展開します。

$(3 a + 12) \ln (3) = \ln (1)$

ステップ 4.6

左辺を簡約します。

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ステップ 4.6.1

分配則を当てはめます。

$3 a \ln (3) + 12 \ln (3) = \ln (1)$

ステップ 4.7

右辺を簡約します。

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ステップ 4.7.1

$1$ の自然対数は $0$ です。

$3 a \ln (3) + 12 \ln (3) = 0$

ステップ 4.8

方程式の両辺から $12 \ln (3)$ を引きます。

$3 a \ln (3) = - 12 \ln (3)$

ステップ 4.9

$3 a \ln (3) = - 12 \ln (3)$ の各項を $3 \ln (3)$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.9.1

$3 a \ln (3) = - 12 \ln (3)$ の各項を $3 \ln (3)$ で割ります。

$\frac{3 a \ln (3)}{3 \ln (3)} = \frac{- 12 \ln (3)}{3 \ln (3)}$

ステップ 4.9.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.9.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.9.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 a \ln (3)}{3 \ln (3)} = \frac{- 12 \ln (3)}{3 \ln (3)}$

ステップ 4.9.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{a \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- 12 \ln (3)}{3 \ln (3)}$

ステップ 4.9.2.2

$\ln (3)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.9.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{a \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- 12 \ln (3)}{3 \ln (3)}$

ステップ 4.9.2.2.2

$a$ を $1$ で割ります。

$a = \frac{- 12 \ln (3)}{3 \ln (3)}$

ステップ 4.9.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.9.3.1

$- 12$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.9.3.1.1

$3$ を $- 12 \ln (3)$ で因数分解します。

$a = \frac{3 (- 4 \ln (3))}{3 \ln (3)}$

ステップ 4.9.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.9.3.1.2.1

$3$ を $3 \ln (3)$ で因数分解します。

$a = \frac{3 (- 4 \ln (3))}{3 \ln (3)}$

ステップ 4.9.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$a = \frac{3 (- 4 \ln (3))}{3 \ln (3)}$

ステップ 4.9.3.1.2.3

式を書き換えます。

$a = \frac{- 4 \ln (3)}{\ln (3)}$

ステップ 4.9.3.2

$\ln (3)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.9.3.2.1

共通因数を約分します。

$a = \frac{- 4 \ln (3)}{\ln (3)}$

ステップ 4.9.3.2.2

$- 4$ を $1$ で割ります。

$a = - 4$

代数 例

代数例